3.2 一般形式的柯西不等式自我小测1．已知 a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则 a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D．42．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则 a 的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D．43．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A．1 B．n C．n2 D．4．若实数 x＋y＋z＝1，则 2x2＋y2＋3z2的最小值为( )A．1 B．6 C．11 D．5．已知 a＋b＋c＝1，且 a，b，c＞0，则＋＋的最小值为( )A．1 B．3 C．6 D．96．设 a，b，c 为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．7．设 x，y，z∈R，若 x2＋y2＋z2＝4，则 x－2y＋2z 的最小值为________．8．已知实数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，则 x2＋4y2＋z2的最小值为________．9．在△ABC 中，设其各边长分别为 a，b，c，外接圆半径为 R，求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.10．已知二次三项式 f(x)＝ax2＋bx＋c 的所有系数均为正数，且 a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数 x1，x2，当 x1·x2＝1 时，必有 f(x1)·f(x2)≥1.1参考答案1．解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1.当且仅当 ai＝xi＝(i＝1,2，…，n)时等号成立．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是 1.答案：A2．解析：由柯西不等式，得(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，当且仅当＝＝时等号成立．又 b＋c＋d＝3－a,2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，故 5－a2≥(3－a)2，解得 1≤a≤2，即 a 的最大值是 2.答案：B3．解析：设 n 个正数为 x1，x2，…，xn，由柯西不等式，得(x1＋x2＋…＋xn)≥2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.当且仅当 x1＝x2＝…＝xn时取等号．答案：C4．解析：∵(2x2＋y2＋3z2)≥2＝(x＋y＋z)2＝1.∴2x2＋y2＋3z2≥＝，当且仅当 x＝，y＝，z＝时等号成立．∴2x2＋y2＋3z2的最小值为.答案：D5．解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝时等号成立．答案：D6．解析：(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝时等号成立．答案：1217．解析：由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2，∴(x－2y＋2z)2≤4×9＝36.当且仅当＝＝＝k，k＝±时，上式取得等号，当 k＝－时，x－2y＋2z 取得最小值－6.答案：－68．解析：由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1.∴3(x2＋4y2＋z2)≥1.即 x2＋4y2＋z2≥.当且仅当 x＝2y＝z＝，即 x＝，y＝，z＝时等号成立．2故 x2＋4y2＋z2的最小值为.答案：9．证明：∵＝＝＝2R，∴(a2＋b2＋c2)≥2＝36 R2.∴原不等式成立．10．证明：f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)≥[a()2＋b＋c]2＝f2()＝f2(1)＝1.故 f(x1)·f(x2)≥1.3
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