第三讲 柯西不等式与排序不等式3.1 二维形式的柯西不等式3.2 一般形式的柯西不等式A 级 基础巩固一、选择题1．函数 y＝＋2 的最大值是( )A. B.C．3 D．5解析：根据柯西不等式，知 y＝1·＋2·≤·＝.答案：B2．已知 x，y，z 均大于 0，且 x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )A．24 B．30C．36 D．48解析：(x＋y＋z)≥＝36，所以＋＋≥36.答案：C3．已知 a，b＞0，且 a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )A．2 B.C．6 D．12解析：(＋)2＝(1·＋1·)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即 a＝b 时等号成立．答案：D4．已知 a＋b＝1，则以下成立的是( )A．a2＋b2＞1 B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1 D．a2b2＝1解析：由柯西不等式，得 1＝a＋b≤·＝1，当且仅当＝时，上式取等号，所以 ab＝ ，即 a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是 a2＋b2＝1.答案：B5．已知 a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则 a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )A．1 B．2C．－1 D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，1当且仅当 ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．所以 a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是 1.答案：A二、填空题6．函数 y＝＋的最大值是________．解析：因为(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8，当且仅当＝，即 x＝3 时，等号成立，所以＋≤2，函数 y 取得最大值 2.答案：27．已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．答案：8．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得 25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案：三、解答题9．已知 m＞0，n＞0，m＋n＝p，求证：＋≥，指出等号成立的条件．证明：根据柯西不等式，得(m＋n)≥＝4.于是＋≥＝.当 m＝n＝时等号成立．10．设 x＋y＋z＝1，求函数 u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．解：由 x＋y＋z＝·x＋·y＋1·z.根据柯西不等式，有≤·(2x2＋3y2＋z2)＝(2x2＋3y2＋z2)，因此 1＝(x＋y＋z)2≤(2x2＋3y2＋z2)，所以 u＝2x2＋3y2＋z2≥，当且仅当 x＝，y＝，z＝λ 时等号成立．所以 x＝，y＝，z＝λ，代入 x＋y＋z＝1，得 x＝，y＝，z＝时，等号...
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