第二课时 求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量求异面直线所成的角3利用向量求直线与平面所成的角2利用向量求二面角1,3,4利用向量求距离4综合应用51. (2016·山东菏泽市高三上学期期末)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别为 BC,PC 的中点.(1)判断 AE 与 PD 是否垂直,并说明理由;(2)若 PA=2,求二面角 E AF C 的余弦值.解:(1)垂直.证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC,又 BC∥AD,所以 AE⊥AD,因为 PA⊥平面 ABCD,AE⊂平面 ABCD,所以 PA⊥AE.而 PA⊂平面 PAD,AD⊂平面 PAD,且 PA∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD.又 PD⊂平面 PAD,所以 AE⊥PD.(2) 由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E,F分别为 BC,PC 的中点,所以 A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(, ,1),所以=(,0,0),=(, ,1).设平面 AEF 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则因此取 z1=-1,则 m=(0,2,-1).因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故为平面 AFC 的法向量,又=(-,3,0),所以 cos===.因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为.2. (2016·山东日照市高三 3 月模拟)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D 是 AA1的中点,BD 与 AB1交于点 O,且 CO⊥平面 ABB1A1.(1)证明:BC⊥AB1;(2)若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.(1)证明:由题意 tan ∠ABD==,tan ∠AB1B==,又 0<∠ABD,∠AB1B< ,所以∠ABD=∠AB1B,所以∠AB1B+∠BAB1=∠ABD+∠BAB1= ,所以∠AOB= ,所以 AB1⊥BD.又 CO⊥平面 ABB1A1,所以 AB1⊥CO,因为 BD 与 CO 交于点 O,所以 AB1⊥平面 CBD,又 BC⊂平面 CBD,所以 AB1⊥BC.(2)解:如图,以 O 为坐标原点,分别以 OD,OB1,OC 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 A(0,-,0),B(-,0,0),C(0,0,),D(,0,0),=(-,,0),=(0,,),=(,0,-),设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),则即令 y=1,则 z=-1,x=,所以平面 ABC 的一个法向量 n=(,1,-1).设直线 D 与平面 ABC 所成角为 α,则 sin α=|cos<,n>|===为所求.3. (2016·贵阳监测考试)如图,已知四棱锥 P ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AB⊥AC,AB=AC=PA=2,E 是 ...
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