专题五 第三讲A 组1．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且 BP⊥平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( B )A．，－，4 B．，－，4C．，－2,4 D．4，，－15[解析] AB⊥BC⇒AB·BC＝3＋5－2z＝0，所以 z＝4，又 BP⊥平面 ABC，所以BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，①BP·BC＝3x－3＋y－3z＝0，②由①②得 x＝，y＝－．2．已知在正四棱锥 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，点 E 是 AA1的中点，则异面直线 DC1与 BE 所成角的余弦值为( B )A． B． C． D．[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，设 AB＝1，则 AA1＝2，所以 B(1,0,0)，E(0,0,1)，D(0,1,0)，C1(1,1,2)，则DC1＝(1,0,2)，BE＝(－1,0,1)，设异面直线 DC1与 BE 所成的角为 θ，则 cos θ＝＝＝．3．已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于( A )A． B． C． D．[解析] 设直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角为 θ，建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2，则 A(0，－1,0)，B1(，0,2)，AB1＝(，1,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，所以BO＝(－，0,0)为侧面 ACC1A1的法向量，所以 sin θ＝＝．4 ． 已 知 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 ， 下 列 命 题 ： ① (A1A ＋ A1D1 ＋ A1B1)2 ＝ 3A1B12 ，②A1C·(A1B1－A1A)＝0，③向量AD1与向量A1B的夹角为 60°，④正方体 ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·A1A·AD|，其中正确命题的序号是( B )A．①③ B．①② C．①④ D．①②④[解析] 如图所示：以点 D 为坐标原点，以向量DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，对于①：A1A＝(0,0，－1)，A1D1＝(－1,0,0)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1A＋A1D1＋A1B1＝(－1,1，－1)，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3，而A1B12＝1，所以(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12.所以①正确；对于②：A1C＝(－1,1，－1)，A1A＝(0,0，－1)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1C·(A1B1－A1A)＝0.所以②正确；对于③：AD1＝(－1,0,1)，A1B＝(0,1，－1)，AD1·A1B＝－1，cos〈AD1，A1B〉＝＝＝－，所以AD1与A1B的夹角为 120°，所以③不正确；对于④：因为AB·A1A＝0，所以④错误．故选 B．5．在底面是直角梯形的四棱锥 S－ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面AB...
VIP
