第 8 章 平面解析几何第 7 节 抛物线1．（2014 湖南，5 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a，b(a0)经过 C，F 两点，则＝________.解析：由正方形的定义可知 BC＝CD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 b2＝2p＝a2＋2ab，变形得 2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.答案：1＋2．（2014 新课标全国Ⅰ，5 分）已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )A. B.C．3 D．2解析：过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选 C.答案：C3．（2014 新课标全国Ⅱ，5 分）设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A. B.C. D.解析：易知抛物线中 p＝，焦点 F，直线 AB 的斜率 k＝，故直线 AB 的方程为 y＝，代入抛物线方程 y2＝3x，整理得 x2－x＋＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d＝·sin 30°＝，所以△OAB 的面积 S＝|AB|·d＝.答案：D4．（2014 辽宁，5 分）已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( )A. B.C. D.解析： A(－2,3)在抛物线 y2＝2px 的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB 的方程为 x＝k(y－3)－2 ①，将①与 y2＝8x 联立，即得 y2－8ky＋24k＋16＝0 ②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即 2k2－3k－2＝0，解得 k＝2 或 k＝－(舍去)，将 k＝2 代入①②解得，即 B(8，8)，又 F(2,0)，∴kBF＝＝，故选 D.答案：D5．（2014 山东，14 分）已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|＝|FD|.当点A 的横坐标为 3 时，△ADF 为正三角形．(1)求 C 的方程；(2)若直线 l1∥l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E，① 证明直线 A...
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