第三课时 空间向量与空间角课时跟踪检测一、选择题1．已知平面 α 的一个法向量为 n1＝，平面 β 的一个法向量为 n2＝(1，－1,1)，则平面α 与 β 所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析： n1·n2＝0，∴α⊥β，∴α 与 β 所成的角为 90°.答案：D2．设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n，若〈a，n〉＝，则 l 与α 所成的角为( )A. B．C. D．解析：如图所示，直线 l 与平面 α 所成的角 θ＝－＝.答案：C3．已知向量 a＝(1,0，－1)，则下列向量中与 a 成 60°角的向量是( )A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)解析：设 b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝，∴b 与 a 的夹角为 60°.答案：B4．(2019·牡丹江中学高二期中)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )A. B．－C. D．或－解析： ＝，∴这个二面角的余弦值为或－.答案：D5．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE所成的角的余弦值为( )A. B．C. D．解析：以 D 为坐标原点，建系如图，1则 B(1,2,0)，C1(0,2,2)，A(1,0,0)，E(0,2,1)，∴BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)．则 cos〈BC1，AE〉＝，∴异面直线 BC1与 AE 所成的角的余弦值为.答案：B6．(2019·江苏无锡高二期末)如图所示，已知点 P 为菱形 ABCD外一点，且 PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝AC.点 F 为 PC 的中点，则二面角 C－BF－D 的正切值为( )A. B．C. D．解析：如图，连接 OF， 四边 ABCD 为菱形，∴O 为 AC 的中点 ，AC⊥BD. F 为 PC 的中点，∴OF∥PA. PA⊥平面 ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以 O 为原点，OB，OC，OF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直 角 坐 标 系 O － xyz ， 设 PA ＝ AD ＝ AC ＝ 1 ， 则 BD＝，∴B，0,0，F0,0，，C0，，0，D－，0,0，结合图形可知，OC＝0，，0，且OC为平面 BDF 的一个法向量．由BC＝－，，0，FB＝，0，－，可求得平面BCF 的一个法向量 n＝(1，，)．∴cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，∴tan〈n，OC〉＝.答案：D二、填空题7．若平面 α 的一个法向量为 m＝(1，－2,1)，平面 β 的一个法向量为 n＝(0,1,1)，则平面 α 与平面 β 所成的锐二面角的余弦值为______...
VIP
