第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A 级 基础巩固一、选择题1．若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B 等于( )A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为 i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以 A＝{i，－1，－i，1}, 又 B＝{1，－1}故 A∩B＝{1，－1}．答案：C2．复数 z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )A．|a|＝|b| B．a＜0 且 a＝－bC．a＞0 且 a≠b D．a≤0解析：因为 z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以 a＋|a|＝0，因此 a≤0.答案：D3．下列复数中，满足方程 x2＋2＝0 的是( )A．±1 B．±iC．±i D．±2i答案：C4．下列命题：① 若 z＝a＋bi，则仅当 a＝0，b≠0 时 z 为纯虚数；② 若 z＋z＝0，则 z1＝z2＝0；③ 若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在①中未对 z＝a＋bi 中 a，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若 z1＝1，z2＝i，则 z＋z＝1－1＝0，但 z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合 M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且 M∩N＝{3}，则实数m 的值为( )A．4 B．－1C．－1 或 4 D．－1 或 6解析：由于 M∩N＝{3}，故 3∈M，必有 m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得 m＝－1.1答案：B二、填空题6．已知复数 z＝m2(1－i)－m(m＋i)(m∈R)，若 z 是实数，则 m 的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以 m2－m＝0，所以 m＝0 或 m＝1.答案：0 或 17．已知 M＝{1，(m＋3)i}，N＝{1，2，3i}，若 M∩N＝M，则实数 m 的值为________．解析：由 M∩N＝M，得 M⊆N，所以(m＋3)i＝3i，即 m＋3＝3，m＝0.答案：08．设 i 为虚数单位，若关于 x 的方程 x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为 n，则 m＝________．解析：关于 x 的方程 x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为 n，可得 n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.所以所以 m＝n＝1.答案：1三、解答题9．当实数 m 为何值时，复数 z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)由得 m＝2.所以当 m＝2 时，z 是实数．(2)由得即 m≠2 且 m≠－3.所以当 m≠2 且 m≠－3 时...
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