课时作业 18 抛物线及其标准方程知识点一 抛物线的定义1.已知动点 M 的坐标满足方程 5＝|3x＋4y－12|，则动点 M 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案 C解析 方程 5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点 M 到坐标原点 O 的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0 的距离，由抛物线的定义可知，动点 M 的轨迹是抛物线．故选 C.2．给出下列命题：① 到定点 F(－1,0)的距离和定直线 x＝1 的距离相等的动点 P 的轨迹为抛物线；② 到定点 F(2,1)的距离和到定直线 3x－2y－4＝0 的距离相等的动点 P 的轨迹为抛物线；③ 抛物线的焦点一定在 y 轴上．其中假命题是________(填序号)．答案 ②③解析 由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点 F(2,1)在定直线 3x－2y－4＝0 上，可知动点 P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在 x 轴上，所以命题③为假命题．3．平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程．解 解法一：设点 P 的坐标为(x，y)，则＝|x|＋1.两边平方并化简，得 y2＝2x＋2|x|，所以 y2＝于是动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x<0)．解法二：由于点 F(1,0)到 y 轴的距离为 1，所以当 x<0 时，射线 y＝0 上的点满足题意；当 x≥0 时，已知条件等价于点 P 到点 F(1,0)的距离与到其直线 x＝－1 的距离相等，所以点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 x＝－1 为准线的抛物线，方程为 y2＝4x.于是动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)或 y＝0(x<0)．知识点二 抛物线的标准方程4.抛物线 y＝2x2的焦点坐标是________，准线方程为________．答案 y＝－解析 抛物线方程即 x2＝y，可知焦点在 y 轴上，且＝，所以焦点坐标是，准线方程为 y＝－.5．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为 y＝－1；(2)焦点在 x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是 3.解 (1)由准线方程为 y＝－1 知抛物线焦点在 y 轴正半轴上，且＝1，则 p＝2.故抛物线的标准方程为 x2＝4y.(2)设焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准线为 x＝－，则焦点到准线的距离是 p＝3，因此所求的抛物线的标准方程是 y2＝6x.一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )A.y2＝－4xB.x2＝4y1C.y2＝－4x 或...
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