第 5 章 数列第 1 节 数列的概念与简单表示法1．（2013 新课标全国Ⅰ，5 分）若数列{an}的前 n 项和 Sn＝an＋，则{an}的通项公式是 an＝________.解析：本题考查等比数列的定义、Sn与 an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解 an的能力．求解本题时，按照 n＝1 和 n≥2 两种情况分类解答，当 n≥2时，由已知得到 Sn－1＝an－1＋，然后作差得 an的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解．当 n＝1 时，由已知 Sn＝an＋，得 a1＝a1＋，即 a1＝1；当 n≥2 时，由已知得到 Sn－1＝an－1＋，所以 an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以 an＝－2an－1，所以数列{an}为以 1 为首项，以－2 为公比的等比数列，所以 an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－12．（2013 江西，5 分）正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式 an；(2)令 bn＝，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.解：本题主要考查数列的概念、一元二次方程、裂项求数列的和，旨在考查考生的转化、化归能力与运算求解能力．(1)由 a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以 an＝2n.(2)由 an＝2n，bn＝，则 bn＝＝.Tn＝＝＝.3．（2010 安徽，5 分）设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 a8的值为( )A．15B.16C．49 D．64解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案：A4．（2012 湖北，5 分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：(1)b2012是数列{an}中的第________项；(2)b2k－1＝________.(用 k 表示)解析：求出数列{an}，{bn}的通项公式．由题意可得 an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故 b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝(k 为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝＝，故 b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即 b2 012是数列{an}中的第 5 030 项。答案：(1)5 030；(2)5．（2010 辽宁，5 分）已知数列{an}满足 a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．解析：在 an＋1－an＝2n 中，令 n＝1，得 a2－a1＝2；令 n＝2 得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．把上面 n－1 个式子相加，得 an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当 n＝，即 n＝时取等号，而 n∈N*，∴“＝”取不到．∵5<<6，∴当 n＝5 时，＝5－1＋＝，当 n＝6 时，＝6－1＋＝＝，∵>，∴的最小值是.答案：
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