第七章 立体几何第七节 立体几何中的空间向量方法1．（2014 新课标全国Ⅰ，12 分）如图三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若 AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角 A－A1B1－C1的余弦值．解：(1)证明：连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C⊥BC1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点．又 AB⊥B1C，所以 B1C⊥平面 ABO.由于 AO⊂平面 ABO，故 B1C⊥AO.又 B1O＝CO，故 AC＝AB1.(2)因为 AC⊥AB1，且 O 为 B1C 的中点，所以 AO＝CO.又因为 AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故 OA⊥OB，从而 OA，OB，OB1两两相互垂直．以 O 为坐标原点，，，的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O－xyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又 AB＝BC，则 A，B(1,0,0)，B1，C.＝，＝＝，＝＝.设 n＝(x，y，z)是平面 AA1B1的法向量，则即所以可取 n＝(1，，)．设 m 是平面 A1B1C1的法向量，则同理可取 m＝(1，－，)．则 cos〈n，m〉＝＝.所以二面角 A－A1B1－C1的余弦值为.2．（2014 新课标全国Ⅱ，12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．(1)证明：PB∥平面 AEC；(2)设二面角 D AEC 为 60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥 EACD 的体积．解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO.因为平面 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB.因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC.(2)因为 PA⊥平面 ABCD，平面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直．如图，以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，| |为单位长，建立空间直角坐标系 Axyz，则 D(0，，0)，E，＝.设 B(m,0,0)(m>0)，则 C(m，，0)，＝(m，，0)．设 n1＝(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则即可取 n1＝.又 n2＝(1,0,0)为平面 DAE 的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|＝，即 ＝，解得 m＝.因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 EACD 的高为.三棱锥 EACD 的体积 V＝××××＝.3.(2014 山东，12 分) 如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M 是线段 AB 的中点．(1)求证：C1M∥平面 A1ADD1；(2)若 CD1垂直于平面 ABCD 且 CD1＝，...
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