高中数学思维方法训练系列课程第 5 课 巧用对称 化繁为简 ―――对称思想方法学以致用（2 课时）特级教师 佘维平引入：对称关系广泛存在于数学问题中，对称美是数学美的一个方面。充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效通道，且往往能更简便地使问题得到解决。我们将从对称性应用常见的四个方面入手进行学习：1、利用关系式中字母的对称；2、利用图形的对称；3、利用其他数学情形的对称；4、利用隐含条件揭示或构造对称。对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果 A、B 是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方 面), 那么把 A、B 交换顺序,其结果不变,这就是对称原理．在数学问题中，经常出现在某种意义下对称的形或式，如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线；代数中的一些不等式、方程；函数ｆ(x)与其反函数ｆ－1(x)及它们的图象等等，不一而足，高考中这方面的问题多不胜数。充分利用好对称原理，可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。本课程旨在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍，同学们自可从中体会到数学上的对称之美及对称性应用之妙。一 利用关系式中变元的对称“如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变，则称它是关于这些字母的对称式，如 x2+ｙ 2＝1，等。当问题中的变元具有这种对称性，变形或运算的每一步都是对称的，则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”.这就是对称性原理之一。 x+y+z＝6……………………①例 1 方程组 xy+xz+zy＝11……………② 解的组数为( )xyz＝6…………………………③ (A) 1(B) 2(C) 3 (D) 6分析与略解： 第 1 页 共 6 页 显然方程组关于 x、ｙ、ｚ对称，其结果也应关于 x、y、z 对称。若方程只有一组解，则必有 x＝ｙ＝ｚ,此时由① 有 x＝ｙ＝2，代入②、③皆不成立，所以(A)错。若方程有两组解，则与方程组关于 x、ｙ、ｚ具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。若方程有三组解，则 x＝ｙ≠ｚ应成立,此时由①，ｚ＝6-2x，代入②得 3x2-12x+13＝0,但由于△＝-12＜0，此方程无解，(C)也错。故应选(D)。解后反思：当 x、ｙ、ｚ为两两不等的实数时，这三个数的每一个排列对应于这样的方程的一组解，这样的排列共 6 组，故方程组应有 6 ｋ(ｋ∈Ｎ)组解。实际上，1、2、3 的 6 组不同排列就分别是上述方程的 6 组解。例...
VIP
