第二课时 一般形式的柯西不等式[基础达标]1.若实数 a、b、c 均大于 0，且 a＋b＋c＝3，则的最小值为A.3 B.1 C. D.解析 3(a2＋b2＋c2)＝(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(1·a＋1·b＋1·c)2＝(a＋b＋c)2＝9，∴a2＋b2＋c2≥3，∴≥，故选 D.答案 D2.设 a，b，c>0，且 a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是A.1 B. C.3 D.9解析 由柯西不等式，得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，则(＋＋)2≤3×1＝3.当且仅当 a＝b＝c＝时等号成立.故＋＋的最大值为.答案 B3.已知 x，y，z 均大于 0，且 x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为A.24 B.30 C.36 D.48解析 (x＋y＋z)≥＝36，故＋＋≥36.答案 C4.设 a，b，c 为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________.解析 (a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝时等号成立.答案 1215.已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1，1].(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解析 (1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m.1由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x)－m≤x≤m}.又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1，1]，故 m＝1.(2)证明 由(1)知＋＋＝1，又 a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9.∴原不等式得证.[能力提升]1.已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2的最小值为A.1 B.4C. D.答案 C2.设 a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则 P 与 Q 间的大小关系为A.P＞Q B.P≥QC.P＜Q D.不确定答案 B3.已知 x2＋y2＋z2＝1，则 x＋2y＋2z 的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4解析 由柯西不等式，得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，所以－3≤x＋2y＋2z≤3.当且仅当 x＝＝时，右边等号成立.所以 x＋2y＋2z 的最大值为 3.答案 C4.若 a，b，c 为正数，则·的最小值为A.1 B.－1 C.3 D.9答案 D5.已知 x，y 是实数，则 x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是A. B. C.6 D.3解析 由柯西不等式，得(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，即 x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当 x＝y＝1－x－y，即 x＝y＝时，x2＋y2＋(1－x－y)2取得最小值.答案 B6.设 m，n，p 为正实数，且 m2＋n2－p2＝0，则的最小值为2A.0 B.3 C.1 D.答案 D7.设 a，b，c，d 均为正实数，P＝(a＋b＋c＋d)·，则 P 的最小值为________.答案 168.已知 a，b，...
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