3.2 一般形式的柯西不等式课后导练基础达标1 设 A=a2+b2+c2,B=ab+bc+ca(a,b,c∈R),则 A、B 的大小关系是( )A.A>B B.A
0 且 ab+bc+ca=1,则 a+b+c 的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D. 3解析:(a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2=1.∴a2+b2+c2≥1.从而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3.∴a+b+c≥ 3 .答案:D3 若 a≠b,则 a2+3b2与 2b(a+b)的大小关系为( )A.a2+3b2>2b(a+b) B.a2+3b2<2b(a+b)C.a2+3b2≥2b(a+b) D.a2+3b2≤2b(a+b)解析:(a2+3b2)2=(a2+b2+2b2)(b2+a2+2b2)>(ab+ba+2b2)2=4b2(a+b)2( a≠b,∴“=”不取),∴a2+3b2>2b(a+b).答案:A4 若 a,b，c＞0，则 M=(a+b+c)(a2+b2+c2),N=9abc 的大小关系为( )A.M>N B.M0，M=ab+bc+ca+c2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则 MN 与 P 的大小关系是( )A.MN>P B.MN≤PC.MN≥P D.MN 9 D.CBA111< 9解析: A＋B＋C＝π,∴(A+B+C)(CBA111)≥(1+1+1)2=9.∴CBA111≥ 9 .等号当且仅当 A＝B＝C= 3 时取得.答案:A7a、b、c∈R+，求证：)(29111cbaaccbba.证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［accbba111］≥(1+1+1)2=9.∴)(29111cbaaccbba.等号当且仅当 a=b=c 时取得.8a∈R，求证:(1+a+a2)2≤3(1+a2+a4).证明:3(1+a2+a4)=(1+1+1)(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2.9 设 a、b、c∈R+，求证：abcacbbca444≥a2+b2+c2.证明:(bc+ac+ab)(abcacbbca444)≥(a2+b2+c2)2.又 bc+ac+ab≤a2+b2+c2,2∴(a2+b2+c2)(abcacbbca444)≥(a2+b2+c2)2,即abcacbbca444≥a2+b2+c2.拓展探究10 设 n 是不小于 2 的正整数，证明2221211174nnn.证明: (nnn212111...
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