巧用线段之和证明几何题 四边形这一章中有些题目经常出现两条线段之和等于某一条线，这类证明题中往往一下子条件用不上，所以只有通过添加辅助线方法，使两条线段之和转化为另一条线段等于已知线段，然后利用等腰三角的性质或三角形全等证得结论。例 1 如果在梯形 ABCD 中，AD//BC， E 是 AB 的中点AD+BC=DC， 求证：∠DBC=90°证明： 延长 DE 交 CB 的延长线于 F∵AD//BC ∴∠ADE=∠F ∠A=∠FBE 又∵E 是 AB 的中点∴AE=BE∴△ADE≌△FBE（AAS）∴DE=FE， AD=BF∵AD+BC=DC∴BF+BC=DC即 CF=DC∴△DCF 是等腰三角形∵DE=FE（已证）∴CE⊥DF（等腰三角形三线合一）∴∠DEC=90°例 2 在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 上的点，且 EF=BE+DF，求证∠EAF=45°。证明：延长 CB 到 M 使得 BM=DF，连结 AM在正方形 ABCD 中∵AD=AB ∠D=∠ABC=90°∴∠ABM=90° ∴∠D=∠ABM∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF=AM ∠MAB=∠DAF又∵EF=BE+DF ∴EF=BE+BM即 EF=EM又∵AE=AE ∴△AEM≌△AEF（SSS）∴∠MAE=∠EAF又∵∠DAF+∠BAF=90° ∵∠DAF=∠MAB（已证）∴∠MAF=90° ∴∠EAF=∠EAM=∠MAF=×90°=45°例 3：在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 O，过 O 的直线交 AD 于 E，交 BC 于F，OE=OF，OA+AE=OC+CF，求证：四边形 ABCD 是平行四边形证明：分别延长 OA 至 G，OC 至 H 使得AG=AE， CH=CF 连结 GE， FH∵OA+AE=OC+CF ∴OA+AG=OC+CH即：OG=OH∵OE=OF ∠EOG=∠FOH∴△OGE≌△OHF（SAS）∴EG=FH∴∠G=∠H∵AG=AE ， CF=CH∴∠G=∠GEA ， ∠H= ∠CFH∴∠G= ∠GEA=∠H=∠CFH∴△AGE≌△CHF（AAS）∴∠GAE=∠HCF∵∠GAE+∠EAO=∠HCF+∠OCF=180°∴∠OAE=∠OCF∴AD//BC ∵OE=OF ， ∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）∴OA=OC∵∠DAO=∠BCO（已证）∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△COB(ASA)∴AD=BC∴四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
VIP
