1 高考与阿基米德三角形一、主要概念及性质1、定义： 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有：2、主要性质：性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。证明：设1122(,),(,)A xyB xy， M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为11()y yp xx，过 B 的切线方程为：22()y yp xx，联立方程组得：1122211222()()22y yp xxy yp xxypxypx解得两切线交点1212,22y yyyQp，进而可知 QMxP轴。性质 2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线。证明：设( ,)Q x y ，由性质 1，1212,22y yyyxyp，所以有122y ypx 。由,,A B C 三点共线知10122221210222yyyyyyyxppp即221121020102yy yy xy xypy将1212,22yyyy ypx 代入得00()y yp xx即为 Q 点的轨迹方程。性质 3：抛物线以 C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹。性质 4：若直线 l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。证明：设 l 方程为0axbyc，且1122(,),(,)A xyB xy，弦 AB 过点00(,)C xy，由性质 2 可知Q 点的轨迹方程为00()y yp xx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得00,cbpxyaa，即弦 AB 过定点,cbpCaa。2 性质 5：底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap。证明： ABa ，设 Q 到 AB 的距离为 d ，由性质 1 知22212121212122()22444xxy yyyy yyydQMpppp设直线 AB 的方程为xmyn ，则2221(1)()amyy，所以2322121()428aayyadsadpp。性质 6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p 。证明：由性质2，若底边过焦点，则00,02pxy， Q 点的轨迹方程是2px，即为准线；易验证1QAQBkk，即 QAQB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。所以221212122224242y yxxyypppQMppp而212121()2QABSQMyyQMy ypV性质 7 ：在阿基米德三角形中，QFAQFB 。证明：如图，作AA准线， BB准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ，则1FAykp，显然1FAQAKk，所以FAQA ，又因为AAAF ，由三角形全等可得QAAQAF ，所以,QAAQAFQAQFQA AQFAVV同理可得,QBQFQB BQFBQAQBQA BQB A所以009090QA AQA BQB AQB BQFAQFB性质 8：2AFBFQF证明：2121212()2224ppppAFBFxxx xxx3 22221212244y yyypp而222222212121212222244y ...
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