第 4 课时 二次根式考点一考点二考点三考点四考点一 二次根式 1.概念:形如ξ𝑎(a≥0)的式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件:要使二次根式ξ𝑎有意义,则 a≥0. 考点一考点二考点三考点四考点二 二次根式的性质 1.(ξ𝑎)2=a(a≥0). 2.ξ𝑎2=|a|=൜𝑎(𝑎 ≥ 0),-𝑎(𝑎 < 0). 3.ξ𝑎𝑏 = ξ𝑎 · ξ𝑏(a≥0,b≥0). 4.ට𝑎𝑏 =ξ𝑎ξ𝑏(a≥0,b>0). 考点一考点二考点三考点四考点三 最简二次根式、同类二次根式 1.概念:我们把满足被开方数不含分母,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式. 2.同类二次根式的概念:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 考点一考点二考点三考点四考点四 二次根式的运算 1.二次根式的加减法 合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,若有同类二次根式,则可把同类二次根式合并成一个二次根式. 2.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法:ξ𝑎 · ξ𝑏 = ξ𝑎𝑏(a≥0,b≥0). (2)二次根式的除法:ξ𝑎ξ𝑏 = ට𝑎𝑏(a≥0,b>0). 一二 三四一、二次根式有意义的条件 【例 1】 若使ξ𝑥+1ට2-𝑥有意义,则 x 的取值范围是 . 解析:x+1 与 2-x 都是二次根式的被开方数,都要大于等于零.又因 2-x不能为零,可得不等式组൜𝑥 + 1 ≥ 0,2-𝑥 > 0, 解得-1≤x<2. 答案:-1≤x<2 一二 三四二、二次根式的性质 【例 2】 把二次根式 aට- 1𝑎化简后,结果正确的是( ) A.ට-𝑎 B.-ට-𝑎 C.-ξ𝑎 D.ξ𝑎 解析:要使 aට- 1𝑎有意义,必须-1𝑎>0,即 a<0. 所以 aට- 1𝑎=aට- 𝑎𝑎2 =𝑎ට-𝑎-𝑎 =-ට-𝑎. 答案:B 一二 三四 一二 三四三、最简二次根式、同类二次根式 【例 3】 (1)下列二次根式中,最简二次根式是( ) A.ξ2𝑥2 B.ξ𝑏 2 + 1 C.ξ4𝑎 D.ට1𝑥 (2)在下列二次根式中,与ξ𝑎是同类二次根式的是( ) A.ξ2𝑎 B.ξ3𝑎2 C.ξ𝑎3 D.ξ𝑎4 解析:(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式,C 选项中的被开方数中含开得尽方的因数,D 选项中的被开方数中含有分母,故 B 选项正确; (2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后,可得出ξ3𝑎2 =ξ3|a|,ξ𝑎3=aξ𝑎,ξ𝑎4=a2,结合同类二次根式的概念,可得出ξ𝑎3与ξ𝑎是同类二次根式. 答案:(1)B (2)C 一二 三四 一二 三四四、二次根式的运算 【例 4】 (1)(2014 湖北黄石中考)计算:|ξ3-5|+2cos 30°+ቀ13ቁ-1+(9-ξ3)0+ξ4. (2)计算:ξ18 − ට92 −ξ3+ξ6ξ3 +(ξ3-2)0+ට(1-ξ2)2. 解:(1)原式=5-ξ3+2×ξ32 +3+1+2=11. (2)原式=3ξ2 − 3ξ22 -(1+ξ2)+1+(ξ2-1) =3ξ2 − 3ξ22 -1-ξ2+1+ξ2-1=3ξ22 -1. 一二 三四
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