2不等式的证明与柯西不等式课件VIP专享VIP免费

第 2 课时 不等式的证明与柯西不等式1 ．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数 学归纳法． 2. 了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式，能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值 .2011· 考纲下载不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用 . 请注意！注：不等式证明的基本方法详见本书第十二章第2、3课时． 1．平均值不等式 a1＋a2＋…＋ann≥n a1a2…an≥11a1＋1a2＋…＋1an. 2．贝努利不等式 若x∈R，且x>－1，x≠0，n>1，n∈N， 则(1＋x)n>1＋nxn.  课前自助餐 课本导读• 3．柯西不等式 (1)设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(i＝1naibi)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|. 当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． •4 ．排序不等式•若 a1≤a2≤…≤an， b1≤b2≤…≤bn为两组实数， c1， c2，…， cn是 b1， b2，…， bn 的任一排列，则 a1bn ＋ a2bn － 1 ＋…＋ anb1≤a1c1 ＋ a2c2 ＋…＋ancn≤a1b1 ＋ a2b2 ＋…＋ anbn. 当且仅当 a1 ＝ a2 ＝…＝ an 或 b1＝ b2＝…＝ bn时，反序和等于顺序和．1．已知0N C．M＝N D．不确定 答案B 教材回归解析 由已知 得 00， 故 M>N. 2．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是( ) A．33 9 B．1＋2 2 C．6 D．7 答案D3．函数f(x)＝ 3x＋ 3(1－x)的最大值＝________. 解析 3x＋ 3(1－x)＝ 3x＋ 3－3x，由柯西不等式得 ( 3x＋ 3－3x)2≤(12＋12)[( 3x)2＋( 3－3x)2]＝6， ∴ 3x＋ 3－3x≤ (1＋1)·(3x＋3－3x)＝ 6. 答案 6 4．(2011·江苏南通)已知实数m，n>0. (1)求证：a2m＋b2n≥(a＋b)2m＋n ； (2)求函数y＝2x＋91－2x〔x∈(0，12)〕的最小值． 解析 (1)证明 因为m，n>0，利用柯西不等式， 得(m＋n)(a2m＋b2n)≥(a＋b)2， 所以a2m＋b2n≥(a＋b)2m＋n . (2)解 由(1)，函数y＝2x＋91－2x...