第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 【2013年高考会这样考】 1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题． 基础梳理 1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． f( － x) ＝ f(x) f( － x) ＝－ f(x) 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 ． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ； ②两个偶函数的和、积都是 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 ． 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． f(x ＋ T) ＝ f(x) 存在一个最小 双基自测 1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52 ＝( )． A．－12 B．－14 C.14 D.12 解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f－52 ＝－f52 ＝－f12＝－12.故选A. 答案 A 2．(2012·福州一中月考)f(x)＝1x－x的图象关于( )． A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝ 1－x －(－x)＝－1x－x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称． 答案 C 3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )． A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 解析 由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶...
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