第十五讲导数的应用回归课本1. 函数的单调性与导数在区间 (a,b) 内 , 函数的单调性与其导数的正负关系 :(1) 如果f′(x)>0, 那么 y=f(x) 在这个区间内单调递增 .(2) 如果 f′(x)<0, 那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减 .(3) 如果 f′(x)=0, 那么 f(x) 在这个区间内为常数 .2. 函数的极值与导数(1) 函数极值的定义若函数 f(x) 在点 x=a 处的函数值 f(a) 比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小 , 且 f′(a)=0, 而且在 x=a 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 则 a 点叫函数的极小值点 ,f(a) 叫做函数的极小值 .若函数 f(x) 在点 x=b 处的函数值 f(b) 比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大 , 且 f′(b)=0, 而且在 x=b 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则 b 点叫函数的极大值点 ,f(b) 叫函数的极大值 , 极大值和极小值统称为极值 .(2) 求函数极值的方法解方程 f′(x)=0, 当 f′(x0)=0 时 ,① 如果在 x0附近左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0) 是极大值 .② 如果在 x0附近左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 那么 f(x0)是极小值 .③ 如果 f′(x) 在点 x0的左､右两侧符号不变 , 则f(x0) 不是函数极值 . 3. 函数的最值与导数(1) 函数 f(x) 在 [a,b] 上有最值的条件如果在区间 [a,b] 上函数 y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线 , 那么它必有最大值和最小值 .(2) 求函数 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大值与最小值的步骤① 求函数 y=f(x) 在 (a,b) 内的极值 .② 将函数 y=f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 比较 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值 .4. 解决优化问题的基本思路考点陪练1. 已知函数 f(x)=x3+ax2+3x-9, 且在 x=-3 时取得极值 , 则 a的值为 ()A.2B.3C.4D.5解析 : 由题意得 f′(x)=3x2+2ax+3. 又 f(x) 在 x=-3 时取得极值 ,所以 f′(-3)=30-6a=0, 解得 a=5. 故选 D.答案 :D2.(2010· 重庆统考 ) 已知函数 f(x)=x3-3x, 则函数 f(x) 在区间[-2,2] 上的最大值是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :f′(x)=3x2-3, 当 x[-2,-1]∈或 [1,2] 时 ,f′(x)≥0,f(x) 单调递增 ; 当 x(-1,1)∈时 ,f′(x)<0,f(x) 单调递减 . 故极大值为 f(-1)=2, 极小值为 f(1)=-2, 又因为 f(-2)=-2,f(2)=2,f(x)∴在 [-2,2] 上的最大值为 2.答案 :C...
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