第 7 课时 分式方程考点一考点二考点三考点一 分式方程 1.分母里含有未知数的有理方程,叫做分式方程. 2.使分式方程分母为零的未知数的值即为增根;分式方程的增根有两个特征: (1)增根使最简公分母为零; (2)增根是分式方程化成的整式方程的根. 考点一考点二考点三考点二 分式方程的基本解法 解分式方程的一般步骤: (1)去分母,把分式方程转化为整式方程; (2)解这个整式方程,求得方程的根; (3)检验,把解得整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母为零,则它不是原方程的根,而是方程的增根,必须舍去;如果使最简公分母不为零,则它是原分式方程的根. 考点一考点二考点三考点三 分式方程的实际应用 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解; (2)检验所求的解是否符合实际. 一二 三四一、去分母解分式方程 【例 1】 (2014 浙江嘉兴中考)解方程: 1𝑥-1 =3𝑥2-1. 分析:先把方程的分母分解因式,找出各分母的最简公分母,然后在分式方程两边同乘以最简公分母,将分式方程化成整式方程,即可求出分式方程的解. 去分母时,注意不要漏乘;求出整式方程的解后要注意验根. 解:方程两边同乘(x2-1)得,x+1-3=0,∴x=2. 经检验,x=2 是原方程的根. 一二 三四 一二 三四二、换元法解分式方程 【例 2】 解方程:𝑥-1𝑥 + 𝑥𝑥-1 = 52. 解:设𝑥-1𝑥 =y, 则原方程化为 y+1𝑦 = 52. 解之,得 y1=2,y2=12. 当 y=2 时,𝑥-1𝑥 =2,解得 x=-1; 当 y=12时,𝑥-1𝑥 = 12,解得 x=2. 经检验,x1=-1,x2=2 均符合题意, 所以原方程的解为 x1=-1,x2=2. 一二 三四 一二 三四三、分式方程的增根 【例 3】 如果 x=2 是关于 x 的方程 𝑥𝑥-2 +1𝑥+2 = 𝑥+𝑘𝑥2-4+1 的增根,求 k 的值. 分析:先将原分式方程去分母化为整式方程,再将增根 x=2 代入整式方程,即可求出字母系数 k 的值. 解:先把原方程去分母,得 x(x+2)+(x-2)=x+k+x2-4. 整理,得 2x+2=k. 把增根 x=2 代入整式方程,得 k=6. 一二 三四四、分式方程的应用 【例 4】 (2014 湖北随州中考)某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标.经测算:若由两个工程队合做,12 天恰好完成;若两个队合做 9 天后,剩下的由甲队单独完成,还需 5 天时间.现需从这两个工程队中选出一个队单独完成.从缩短工期角度考虑,你认为应该选择哪个队?为什么? 解:设甲队单独完成工程需 x 天,由题意得 112·9+1𝑥·5=1, 解得 x=20,经检验,x=20 是方程的解.因为 112 − 120 = 130, 所以乙单独完成工程需 30 天. 因为 20<30,所以从缩短工期角度考虑,应该选择甲队. 一二 三四
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