一般形式的柯西不等式VIP专享VIP免费

选修 4 － 5 不等式选讲 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式 旧知新探思考 1 ：二维形式的柯西不等式的代数形式和向量（几何）形式分别是什么？ 定理 1( 二维形式的柯西不等式）若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a2 ＋ b2)(c2 ＋ d 2)≥(ac＋ bd)2, 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立 . 定理 2( 柯西不等式的向量形式）设 α, β是两个向量 , 则有 |α·β|≤|α||β|, 当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数 k, 使α=kβ 时 , 等号成立 . 22222221231231 12 23 3()()()aaabbba ba ba b思考 2 ：由向量形式联想到空间向量 ,从三维的角度思考问题，关于柯西不等式有什么结论？当且仅当 =0, 或存在一个数 k, 使得α=kβ 即 ai=kbi(i=1,2,3) 时等号成立 .定理 :( 三维形式的柯西不等式 [ 向量形式 ]) 若 α,β 为空间向量 , 设 α ＝(a1,a2,a3), β ＝ (b1,b2,b3) ，则 |α·β|≤|α||β| 即： 思考 3 ：根据归纳推理猜想，柯西不等式的一般形式（ n 维）是什么？222222121221 122()()()nnnnaaabbba ba ba b思考 4 ：上述不等式可抽象为 AC≥B2 ，即 (2B)2 － 4AC≤0 ，联想到判别式，如何构造二次函数证明上述猜想？2222122221 12 212( )()2()()nnnnf xaaaxa ba ba b xbbb 思考 5 ：由上述证明过程可知，一般形式的柯西不等式是什么？312123nnaaaabbbb当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n) 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi(i=1,2,… ， n ) 时 ,等号成立 .定理 :( 一般形式【 n 维】的柯西不等式 ) 设 a1,a2,a3,…,an ； b1,b2,b3, …,bn 是实数，则2222221212()()nnaaabbb21 12 2()nna ba ba b 思考 6 ：将二维三角不等式推广 , 则一般形式的三角不等式是什么？ 定理（ n 维形式的三角不等式） 2222221212nnxxxyyy2221122()()()nnxyxyxy1212,,,;,,,,nnx xxy yyR若那么 迁移应用 例 2 已知 a ， b ， c ， d 是不全相等的正数，证明： a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ d 2 ＞ ab＋ bc ＋ cd ＋ da. 例 1 已知 a1, a2, …, an 都是实数 ,n∈N*.求证： 222212121 ()nnaaaaaan...