第一章 导数及其应用1.5.1 曲边梯形的面积 1. 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算 .2. 如果函数 y ＝ f(x) 在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数 f(x) 为区间 I 上的连续函数 . 3. 如图所示的平面图形，是由直线 x ＝ a ， x ＝ b(a≠b) ， y ＝ 0 和曲线y ＝ f(x) 所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？？xyaby ＝ f(x)O 三角形面积的算法 设△ ABC 的底边 AB ＝ a ， AB 边上的高CD ＝ h ，将 CD 分成 n 等分，过每个分点按如图所示作 n － 1 个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？ABCD第 i 个矩形的长为 ，每个矩形的宽为 . iniaan-=hn 这 n － 1 个矩形的面积之和 Sn － 1 等于多少？1(1)2nah nSn--=ABCD 随着 n 的增大， Sn － 1 与△ ABC 的面积愈接近，当 n 趋向于无穷大时， Sn － 1 的极限为多少？由此可得什么结论？1(1)limlim22nnnah nahSn-®¥®¥-==结论：三角形的面积等于各矩形面积之和的极限 . ABCD 曲边梯形面积的算法 由抛物线 y ＝ x2 与直线 x ＝ 1 ， y＝ 0 所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？xy1y ＝ x2O 直线 x ＝ 0 ， x ＝ 1 ，y ＝ 0 和曲线 y ＝ x2 所围成的曲边梯形 . 多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段 . 设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形 .具体操作：将区间 [0 ， 1] 分成 n 等分，按如图所示作 n － 1 个矩形 .xyOy ＝ x21 上述 n － 1 个矩形，求出从左到右各矩形的高分别为多少，宽为多少 . 如下：xyOy ＝ x21 第 i 个矩形的高为 ， 每个矩形的宽为 . 2( )iihn=1n 利用公式 计算，这 n － 1 个小矩形的面积之和 Sn－ 1.222(1)(21)126n nnn+++++=L13(1) (21)6nnn nSn---=xyOy ＝ x21 利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积 S ，所得的结果是：11111limlim(1)(2)63nnnSSnn-®¥®¥==--=xyOy ＝ x21 上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程的几个基本步骤： 分割→近似代替→求和→取极限 . 若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ y ＝ x2xyO11lim3nn...
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