妙用方程组法解阴影面积何惠玲【专题名称】 中学数学教与学（初中读本）【专 题 号】 G351【复印期号】 2009 年 07 期【原文出处】《理科考试研究：初中版》( 哈尔滨 )2009 年 4 期第 18～ 19 页【作者简介】何惠玲，广东珠海市斗门区第二中学(519100) 。初中学生在学习中常常会碰到一类关于求“阴影部分”面积的问题，阴影常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆等基本图形组合而成。我们可根据题意，把整个图形中不同形状的图形按一定大小分类，并按对应的图形设未知数，通过列方程组求出结果。这种数形结合，将面积转化为方程组的解题方法，我们可称之为方程组法。用此法解阴影面积不仅新颖别致，思路清晰，而且简捷明快。例 1 如图 1，正方形 ABCD的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。（人教版九年级上册 P124“复习巩固”第3 题）图 1 解如图 1，由图形的对称性，把正方形分割为两类图形，其面积分别用x、y 表示，则所求阴影部分的面积为4x。依题意得例 2 如图 2，已知边长为a 的正方形 ABCD两条对角线交于点O，分别以四个顶点为圆心，AO长为半径在正方形内画圆弧，求图中阴影部分的面积。解如图 2，由图形的对称性，把正方形同样分割为两类图形，其面积分别用x 、y 表示，则所求阴影部分的面积为4x。依题意得图 2 例 3 如图 3，已知边长为a 的正方形 ABCD内接于⊙ O，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O 的四条孤所围成的四个新月形的面积。图 3 解如图 3，由图形的对称性，把整个图形分割为三类图形，其面积分别用x、 y、z 表示，则所求阴影部分的面积为4x。依题意点评从上述三道例题我们得到了一个很有意思的结果，即例1、例 2 所得的阴影部分面积相等，例3 中四个半月形（阴影部分）的面积恰好等于正方形ABCD的面积。例 4 如图 4，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为a、b，分别以每边为直径向形内作半圆，求四条半圆弧围成的花瓣形的面积（阴影部分的面积）。图 4 解如图 4，由图形的对称性，把整个图形分割为四类图形，其面积分别用x、 y、z、d 表示，则所求阴影部分的面积为4(x+y+z) 。依题意得例 5 如图 5，正方形 ABCD中，有一个以正方形的中心为圆心，以一边长为直径的圆，分别以A、B、C、D 为圆心，以边长一半为半径画四条弧，若正方形边长为2a，求所围成的阴影部分的面积。图 5 解如图 5，由图形的对...
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