1 / 3 圆-三角形的内切圆一、知识回顾（1）、过三点的圆 : 不在同一直线上的三个点确定一个圆。（2）、三角形的外接圆: 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。如图圆O是△ ABC 的外接圆（3）、三角形的外心;三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。（5）、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O 是△ A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。二、典型例题例 1 ：（ 2006 · 崇左）等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（）A ．2倍B． 3倍C． 4倍D．5倍分析 ：根据等边三角形的三线合一，可以发现并证明等边三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍．再根据圆的面积公式，得出其外接圆的面积是内切圆面积的4倍．解答 ：因为等边三角形的三线合一，所以圆心为其重心，即外接圆的半径是内接圆半径的2倍，所以外接圆面积是内切圆面积的4倍． 故选 C．例2：已知△ ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则点P 是△ ABC 的（）A．外心B．内心C．三条高线的交点D．三条中线的交点分析： 观察图发现，点P 是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案解答 ：A、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误B、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误C、三条高线的交点为三角形的垂心，故错误2 / 3 D、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确故选 D 例3：（2001 · 陕西）如图，点I 是△ ABC 的内心， AI 的延长线交边BC于点 D，交△ ABC 外接圆于点C．（1）求证： IE=BE ；（2）若 IE=4 ，AE=8 ，求 DE 的长．分析 ：（1）连接IB ，只需证明∠ IBE= ∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；（2）IE 的长， 即是 BE 的长， 则可以把要求的线段和已知的线段构造到两个相似三角形中，进行求解．解答： 解：（1）证明：连接IB 点 I 是△ ABC 的内心∴∠ BAD= ∠CAD，∠ ABI= ∠IBD 又 ∠ BIE= ∠BAD+ ∠ ABI= ∠CAD+ ∠ IBD= ∠IBD+ ∠DBE= ∠IBE ∴BE=IE （2）在△ BED 和△ AEB 中∠ EBD= ∠ CAD= ∠BAD，∠ BED= ∠AEB ∴△ BED∽△ AEB ∴BE ...
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