第四章 相似矩阵 课程教案授课题目：第一节 特征值与特征向量教学目的：掌握方阵的特征值和特征向量的概念和求法.教学重点：掌握方阵的特征值和特征向量的求法.教学难点：方阵特征向量的求法.课时安排：3 学时.授课方式：多媒体与板书结合.教学基本内容：§4.1 特征值与特征向量1 定义 1 设是阶方阵，如果存在数和维非零列向量，使得 (1)成立，则称是方阵的特征值，是的属于特征值的特征向量.注 1. 只对方阵有这样的定义, 而且特征向量必须是非零向量.2. (1)成立有非零解..称为特征多项式.称为特征方程.2 矩阵特征值、特征向量的计算步骤：1．解特征方程；求出特征根，即的特征值由于特征方程是关于的次代数方程，所以在计算行列式值写出特征多项式（的次多项式）时，应尽可能写成低次因式乘积的形式以便解特征方程.2．对每个特征值，解齐次线性代数方程组.求出其基础解系，即为矩阵属于特征值的特征向量.矩阵属于的线性无关特征向量的个数有个， 即为解空间的维数，常称为矩阵属于特征值的特征子空间（其中任一非零向量皆为属于的特征向量.注 以上由定义导出的一般计算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征值的情况下都会得到简化.例 1 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1)(1−124 )； (2)(123213336)； (3).并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1) ① |A−λE|=|1−λ−124−λ|=(λ−2)(λ−3)，故的特征值为.② 当时, 解方程，由( A−2E )=(−1−122 )~(1100 ) 得基础解系P1=(−11 )所以k 1P1(k1≠0)是对应于的全部特征值向量．当时，解方程，由( A−3E )=(−2−121 )~(2100 ) 得基础解系P2=(−121 )所以k 2P2(k2≠0)是对应于的全部特征向量．③ [ P1 ,P2]=P1T P2=(−1,1)(−121 )=32≠0，故不正交．(2) ① |A−λE|=|1−λ2321−λ3336−λ|=−λ(λ+1)(λ−9)，故的特征值为．② 当时，解方程，由A=(123213336)~(123011000 )得基础解系P1=(−1−11 )故k 1P1(k1≠0)是对应于的全部特征值向量.当时，解方程( A+E)x=0，由A+E=(223223337)~(223001000 )得基础解系P2=(−110 )故k 2P2(k2≠0)是对应于的全部特征值向量.当时，解方程( A−9 E) x=0 ，由A−9 E=(−8232−8333−3)~(11−101−12000 )得基础解系P3=[1/21/21 ]故k 3P3(k 3≠0)是对应于的全部特征值向量．③ [P1 ,P2]=P1T P2=(−1,−1,1)(−110 )=0，[P2,P3]=P2T P3=(−1,1,0)[1/21/21 ]=0，[P1,P3]=...
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