向量法求空 间 角向量法求空 间 角向量法求空 间 角向量法求空 间 角一、知识整合 请同学们回忆一下用空间向量解决线面角的基本步骤。1. 建系设点2. 找对应面的法向量与对应斜线的方向向量3. 求向量角并转化为线面角∴cosθ＝. n 为平面 α 的法向量，φ 为 l 与 α 所成的角，则 sinφ＝| cosθ|＝|a·n||a||n|. 下面再请同学们回忆一下用空间向量解决二面角的基本步骤。1. 建系设点2. 找对应面的法向量3. 求向量角4. 判断法向量的指向并转化为二面角LnmLnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量则二面角 的大小 ＝〈 〉或 mn， lnm ,nm,注意法向量的方向：同进同出，二面角的平面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角的平面角等于法向量夹角二、应用突破例 1 ．已知斜三 棱柱 ABC—A1B1C1 中 ,ACB=90° ∠A1A=AC=BC=2, 点 D 为 AC 的中点 ,A1D⊥ 平面 ABC,(1) 求 B1A 与平面 B1BC 所成角的正弦值 . 例 1 ．已知斜三 棱柱 ABC—A1B1C1 中 ,ACB=90° ∠A1A=AC=BC=2, 点 D 为 AC 的中点 ,A1D⊥ 平面ABC,求 (2) 二面 角 A—A1B—C 的余弦值 .设向量 n=(x,y,z) 为平面 CBA1 的法向量则：例 1, 已知斜三 棱柱 ABC—A1B1C1 中 ,ACB=90° ∠A1A=AC=2,BC=1, 点 D 为 AC 的中点 ,A1D⊥ 平面 ABC,(3) 求二面角 B—A1C—B1 的大小 . 三、学以致用解 : 由题意可知： A1DBC,ACBC⊥⊥所以 BC⊥ 面 A1AC所以 BC CA⊥1所以在等腰△ CA1B1 中 ,OB1 CA⊥1所以 BCC⊥1C ，可知 BCB⊥1BCB=(2,0,0)所求二面角的大小为 600例 2.如图 所示， ⌒AEC 是半径为 a 的半圆，AC为直径，点 E为⌒AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD的三等分点．平 面AEC外一点F 满足 FB ＝ FD＝ 5a ，FE ＝ 6a . (1)证明：EB⊥FD； (2)已知点 Q，R 分别为线段 FE，FB 上的点，使得 FQ＝23FE，FR＝23FB，求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值 ． 同理，由 n1⊥QD→ ，得 n1·QD→ ＝－2a3 x＋5a3 y－2a3 z＝0， 令 y＝2，得 n1＝(0,2,5)． 由 CF⊥平面 BED，可得平面 BED 的一个法向量为 n2＝(0,0,1)， ∴ cos〈n1，n2〉＝ n1·n2|n1|·|n2|＝0＋0＋529×1 ＝ 529， 则 sin〈n1，n2〉＝ 1－cos2〈n1，n2〉＝2 2929 ，即平面 BED与平面 R...
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