§3.8 §3.8 函数的最大值与最小值高三数学选修(Ⅱ)第三章 导数与微分实际问题 如图,有一长 80cm 宽 60cm 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形,按加工要求 , 长方体的高不小于 10cm 且不大于 20cm, 设长方体的高为xcm ,体积为 Vcm3 .问 x 为多大时, V 最大 ? 并求这个最大值.解:由长方体的高为 xcm , 可知其底面两边长分别是( 80 - 2x ) cm ,( 60 - 2x)cm, (10≤x≤20). 所以体积 V 与高 x 有以下函数关系V= ( 80 - 2x )( 60 - 2x ) x=4 ( 40 - x )( 30 - x ) x.( )f x 一般地,在闭区间 [a,b] 上连续的函数 在 [a,b] 上必有最大值与最小值 .( ),(1,2).f xx x若改为 (a,b) 情况如何 ?[a,b]最值存在定理xyo1212( )f x 一般地,在闭区间 [a,b] 上连续的函数 在 [a,b] 上必有最大值与最小值 .).1( 0),10( )(xxxxf若改为不连续呢 ?连续最值存在定理xyo11( ),(1,2).f xx xxyo1212① 求函数 在 内的极值; )(xf),(ba求 上的连续函数 的最大值与最小值的步骤 :],[ba② 将 f (x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较,其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值. 例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值.4225yxx]2,2[求 [a,b] 上连续函数 最值的方法( )f x( )f x例题讲解 例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值.4225yxx]2,2[解:xxy443 从表上可知,最大值是 13 ,最小值是 4 .13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+0—0+0—当 x 变化时, 的变化情况如下表:yy ,0y令,有0443xx,解得1,0,1xx'yy单调性( 2 )将 的解对应的函数值 f(x) 与 f(a) 、 f(b) 比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.( )0fx( )0fx( 1 )在 (a,b) 内解方程 , 但不需要判断是否是极值点 , 更不需要判断是极大值还是极小值;例题讲解 例 1 求函数 在区间 上的最大值与最小值.4225yxx]2,2[解:xxy443 从上表可知,最大值是 13 ,最小值是 4 .当 x 变化时, 的变化情况如下表:yy ,0y令,有0443xx,解得1,0,1x13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+0—0+0—x'yy例题讲解(0)5,f(...