第二十二章 二次函数专题 11 二次函数与方程 ( 组 )武汉专版 · 九年级上册1 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ x2 － 2x － 3 与 x 轴交于点 A ， B( 点 A 在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C ，直线 x ＝ m(m ＞ 0) ，直线 x ＝ n(n ＞ 0)(m ＜ n) 分别交线段 BC 于点 N ， H ，交抛物线于点 M ， Q. 当 NH∥MQ 时，求 m ＋ n 的值．2 ．已知抛物线 y ＝－ x2 ＋ 2(m ＋ 1)x ＋ m ＋ 3 与 x 轴交于两点 A ， B( 点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B在 x 轴的负半轴上 ) ，与 y 轴交于点 C.(1) 求 m 的取值范围；(2) 如果 |OA|∶|OB| ＝ 3∶1 ，在该抛物线对称轴右边图象上求一点 P 的坐标，使得∠ PCO ＝∠ BCO.【解析】(1)m＞－3.(2)设 A(α，0)，B(β，0)(α＞0，β＜0)，则 OA＝α，OB＝－β.∵α，β为方程－x2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0 的两根，∴α＋β＝2(m＋1)，αβ＝－(m＋3)．∵|OA|∶|OB|＝3∶1，∴α∶(－β)＝3，即α＝－3β，∴－3β＋β＝2(m＋1)，解得β＝－(m＋1)，∴α＝3(m＋1)，∴3(m＋1)·[－(m＋1)]＝－(m＋3)，解得 m1＝0，m2＝－53(舍去)，∴α＝3，β＝－1，∴A(3，0)，B(－1，0)．∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.如图，当 x＝0 时，y＝3，则 C(0，3)．设直线 PC 交 x 轴于点 D，∵∠PCO＝∠BCO，CO⊥BD，∴OB＝OD＝1.∴D(1，0)．设直线 PC 的解析式为 y＝kx＋b，把 C(0，3)，D(1，0)代入，得b＝3，k＋b＝0，解得 k＝－3，b＝3，∴直线 PC 的解析式为 y＝－3x＋3，解方程组 y＝－3x＋3，y＝－x2＋2x＋3，得x＝0，y＝3或 x＝5，y＝－12，∴点 P 坐标为(5，－12)．3 ． (2017· 武汉中考 ) 已知点 A( － 1 ， 1) ， B(4 ， 6) 在抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx 上．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图，点 F 的坐标为 (0 ， m)(m ＞ 2) ，直线 AF 交抛物线于另一点 G ，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为点 H. 设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E ，连接 FH ， AE ，求证： FH∥AE.【解析】(1)把(－1，1)，B(4，6)代入 y＝ax2＋bx，得 a－b＝1，16a＋4b＝6，解得a＝12，b＝－12.∴y＝12x2－12x.(2)设 G(2t，2t2－t)，∴H(2t，0)，则直线 AG 的解析式为 y＝(t－1)x＋t，F(0，t)，∴OH∶OF＝2∶1，令 y＝0，12x2－12x＝0，解得 x1＝0，x2＝1，∴E(1，0)，过 A 作 AI⊥x 轴于 I，则 IE∶AI＝2∶1，又∠AIE＝∠FOH＝90°，∴△FOH∽△AIE，∴∠FHO＝∠AEI，∴FH∥AE.
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