4.3.2 《空间两点间的距离公式》教学目标• 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式• 教学重点和难点• 重点：空间两点间的距离公式• 难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。问题提出 1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究 .知识探究（一） : 与坐标原点的距离公式 思考 1: 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A （ x ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ，y ， 0 ）， C （ 0 ， 0 ， z ），与坐标原点 O 的距离分别是什么？xyzOABC|OA|=|x||OB|=|y||OC|=|z|思考 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A （ x ， y ， 0 ）， B（ 0 ， y ， z ）， C （ x ， 0 ， z ），与坐标原点 O 的距离分别是什么？xyzOA22||OAxy=+22||,OByz=+22||OCxz=+BC思考 3: 在空间直角坐标系中，设点 P （ x ， y ， z ）在 xOy 平面上的射影为 M ，则点 M 的坐标是什么？ |PM|,|OM| 的值分别是什么？xyzOPMM(x,y,0)|PM|=|z|22||OMxy=+思考 4: 基于上述分析，你能得到点 P （ x ，y ， z ）与坐标原点 O 的距离公式吗？xyzOPM222||OPxyz=++思考 5: 在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2 （ r>0 为常数）表示什么图形是什么？ OxyzP知识探究（二） : 空间两点间的距离公式 在空间中，设点 P1 （ x1 ， y1 ， z1 ）， P2 （ x2 ， y2 ， z2 ）在 xOy 平面上的射影分别为 M 、 N.xyzOP2MP1N思考 1: 点 M 、 N 之间的距离如何？221212||()()MNxxyy=-+-思考 2: 若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面，则点 P1 、 P2 之间的距离如何？xyzOP2P1|P1P2|=|z1-z2|思考 3: 若直线 P1P2 平行于 xOy 平面，则点 P1 、 P2 之间的距离如何？MNxyzOP2P122121212|| ||()()P PMNxxyy==-+-思考 4: 若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，则点 P1 、 P2 的距离如何计算？MNxyzOP2P1A思考 5: 在上述图形背景下，点 P1 （ x1 ，y1 ， z1 ）与 P2 （ x2 ， y2 ， z2 ）之间的距离是它对任意两点 P1 、 P2 都成立吗？22212121212||()()()P Pxxyyzz=-+-+- 例 1 在空间中，已知点 A(1, 0, -1) ， B (4, 3, -1) ，求 A 、 B 两点之间的距离 .理论迁移 例 2 已知两点 A(-4, 1, 7) 和B(3, 5, -2) ，点 P 在 z 轴上，若 |PA|=|PB| ，求点 P 的坐标 . 例 3 如图，点 P 、 Q 分别在棱长为 1 的正方体的对角线 AB 和棱 CD上运动，求 P 、 Q 两点间的距离的最小值，并指出此时 P 、 Q 两点的位置 . OxyzABCPQDMN作业 :P138 练习： 3 ， 4.
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