1. 若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则称 f(x) 为偶函数 . 一、函数的奇偶性 2. 若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x) 为奇函数 . 二、简单性质 研究半个区间！1. 奇函数的图象关于原点对称 , 偶函数的图象关于 y 轴对称 . 反之成立！2. 单调性 :3. 奇函数 : f(0)=0(0 在定义域中 ), 偶函数 : f(x)=f(|x|). 3. 若函数 f(x) 不具有上述性质 , 则称 f(x) 不具有奇偶性 ; 若函数同时具有上述两条性质 , 则 f(x) 既是奇函数 , 又是偶函数 .例 : 函数 f(x)=0(x∈D, D 关于原点对称 ) 是既奇又偶函数 . 三、函数奇偶性的判定方法 1. 根据定义判定 : 首先看函数的定义域是否关于原点对称 , 若不对称 , 则函数是非奇非偶函数 ;若对称 , 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 2. 利用定理 , 借助函数的图象判定 : 3. 性质法判定 : 在公共定义域内 ,两奇函数之积 ( 商 ) 为偶函数 ;两偶函数之积 ( 商 ) 也为偶函数 ; 一奇一偶函数之积 ( 商 ) 为奇函数 . ( 注意取商时分母不为零 !) 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难 , 可考虑判定 f(-x) f(x)=0或判定 =1. f(x) f(-x) 四、函数的周期性 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数 , T 为函数的一个周期 . 若 f(x) 的周期中 , 存在一个最小的正数 , 则称它为函数的最小正周期 .五、典型例题 1. 判断下列函数的奇偶性： 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f(x)(0) 也为周期函数 , 且最小正周期为 . || T (1) f(x)= ; 2x (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (3) f(x)=log2( 1-x2 + x2-1 +1); (4) f(x)=(1-x) ; 1-x 1+x 奇函数(5) f(x)= ; |x+3|-3 lg(1-x2) 偶函数(6) f(x)=x( + ). 3x-1 1 12 2.(1) 设函数 f(x) 的定义域关于原点对称 , 判断下列函数的奇偶性 : ①F(x)= [f(x)+f(-x)]; ②G(x)= [f(x)-f(-x)]; 1212(2) 试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和 . 3. 设 f(x) 与 g(x) 分别为奇函数和偶函数 , 若 f(x)-g(x)=( )x, 比12较 f(1) 、 g(0) 、 g(-2) 的大小 . 4. 设函数 f(x) 的定义...
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