渐开线与摆线VIP专享VIP免费

渐开线与摆线2025年3月6日1 、渐开线的定义动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，AB当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧，展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ABMOxy2 、渐开线的参数方程 以基圆圆心 O 为原点，直线OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为 r ，绳子外端 M 的坐标为（ x ， y ）。显然，点 M 由角 唯一确定。B取 为参数，则点 的坐标为（rcos , rsi n ）, 从而(cos ,sin ),||.BMxryrBMr�1(cos ,sin )eOB��由于向量是与同方向的单位向量，2(sin , cos )eBM��因而向量是与向量同方向的单位向量。2erBM所以ABMOxy2 、渐开线的参数方程|| (cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr�(cossin ) ()(sincos )xryr解得 是参数 。这就是圆的渐开线的参数方程。),)sin,cosyxMrrB（，（)cos,(sin2 e2erBM所以渐开线的参数方程ABMOxy(cossin ) ()(sincos )xryr是参数 。3 、渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便 , 因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。4 、摆线的定义思考： P41 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。我们把点 M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABMOAMAOAr线段的长等于的长，即。xyODAEBMC5 、摆线的参数方程OABM 根据点 M 满足的几何条件，我们取定直线为 X 轴，定点 M 滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为 r 。xyODAEBMC5 、摆线的...