圆锥曲线上两点关于直线对称问题的解法湖北省阳新县高级中学 邹生书圆锥曲线上两点关于直线对称问题是高考命题的一个热点问题，该问题集中点弦、垂直、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程函数不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能,是高考命题的热点.圆锥曲线上两点关于直线对称问题主要有联立方程和点差法两种解法,本文结合典型例题对这两种解法进行对比解读,供参考.例 1（2010 年高考安徽卷理科第 19 题）椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）求的平分线所在的直线的方程;（Ⅲ）在椭圆上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在,请找出;若不存在,说明理由解（Ⅰ）椭圆的方程为（过程略）;（Ⅱ）直线 的方程为（过程略）; （ Ⅲ ） 法 1 （ 联 立 方 程 ） 假 设 在 椭 圆 上 存 在 关 于 直 线对 称 的 相 异 两 点,设线段的中点为.因为直线与直线 垂直,所以设直线的 方 程 为 ：, 由 此 得将 其 代 入 椭 圆 方 程 得 ,①. 因 为是 此 方 程 的 两 个 根 , 所 以, 所 以.又点在直线上,所以,所以点的坐标为.又点在直线上,所以,解得,所以点的坐标为,因为点的坐标满足椭圆方程,所以点在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点. 另解：将代入①得,因方程有两个相等实根,两点重合这与假设矛盾,故不存在这样的两点. 法 2（点差法）假设在椭圆上存在关于直线 对称的相异两点,设线段的中点为.因为两点在椭圆上,故有,两式相减得 ,. 又为线段的中点,则有,所以.因为直线 与直线垂直 , 所 以, 所 以, 所 以① . 又 点在 直 线上,所以②. 解①②得点的坐标为,因为点的坐标满足椭圆方程,所以点在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点. 点评 本题第三问是一道探究椭圆上是否存在关于已知直线对称的相异两点的存在性探索题,既可用方程思想求解也可用点差法解答,因为答案是不存在，所以最后的关键是找出矛盾,这个矛盾既可以是假设相异的两点重合,也可以是线段的中点在椭圆上,不在椭圆内.例 2 已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,一个顶点的坐标为,且其右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程;(2）是否存在斜率为的直线 ,...
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