在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意正整数 n 或小于某个 n(n∈N+, n≥n0 ) 都有某种的不等关系成立。 例如 |sin(nӨ)|≤n |sinӨ|, (n∈N+), n2<2n (n∈N+,N≥5), (1+x)n>1+nx (x>-1,n∈N+). n=5,a5=25问题情境一问题 1: 大球中有 5 个小球，如何验证它们都是绿色的？ 完全归纳法不完全归纳法 模 拟 演 示问题 3: 已知： － 1 ＋ 3= 2 － 1 ＋3 － 5= － 3 － 1 ＋3 － 5 ＋ 7= 4 － 1+3－ 5 ＋ 7 － 9= － 5可猜想：－ 1+3 － 5 ＋ …＋（－ 1 ） n （ 2n － 1 ）＝问题 2 ：若 an=(n2- 5n+5)2 ，则 an=1 。对吗？1 1 1 1 当 n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;（－ 1 ） n n 问题情境二数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例： 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（ 1 ）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（ 2 ）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 多米诺骨牌操作实验（ 1 ）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）（ 2 ）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌） 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ 数学归纳法我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性 （ 1 ）证明当 n 取第一个值 n0( 例如 n0=1) 时命题成立 （ 2 ）假设当 n=k(k ∈ N ＋ ,k≥ n0 ) 时命题成立 证明当 n=k+1 时命题也成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法k=2,n=2+1=3k=3,n=3+1=4…k=10,n=10+1=11… 例题讲解证明 : (1) 当 n=1 时 , 左边 = － 1, 右边 = － 1, ∴ 左边 = 右边 , ∴ 当 n=1 时，式（ * ）成立 (2) 假设当 n=k 时，式（ * ）成立， 即 － 1+3 － 5 ＋ …＋（－ 1 ） k （ 2k － 1 ）＝（－ 1 ） k k在这个假设下再考虑当 n=k+1 时， 式（ * ）的左右两边。例 1 、用数学归纳法证明：－ 1+3 － 5 ＋ …＋（－ 1 ） n （ 2n － 1 ）＝（－ 1 ） n n （ * ） 当 n=k+1 时等式左边＝ －...
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