数学 3.2.1立体几何中的向量方法 证明平行与垂直课件 新人教版选修2 1 课件VIP专享VIP免费

二、 立体几何中的向量方法—— 证明平行与垂直设直线 l,m 的方向向量分别为 ,a b， 平面 ,  的法向量分别为 ,u v，则 (1) / /lm / /abab； mlab（一） . 平行关系：a设直线 l,m 的方向向量分别为 ,a b， 平面 ,  的法向量分别为 ,u v，则 uα aAC��②∥ axAByAD��③(2) / /l  ① au0a u ； vuαβ设直线 l,m 的方向向量分别为 ,a b， 平面 ,  的法向量分别为 ,u v，则 (3) / /  ① / /uv.uv u例 1. 用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 ,则这两个平面平行已知 直线 l 与 m 相交 , ,,lm,lm∥∥.求证 ∥ l,ma,, .bv �� 证明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ∥∥,av bvvuαβab,,b又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是 、 的一个法向量 .∥ｌｍ 例 2 四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形 , PD⊥ 底面 ABCD ， PD=DC=6, E 是 PB 的中点， DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证： AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),�AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)32�AE =FGAE//FG 证 ：如图所示 , 建立空间直角坐标系 .// �AEFGAE 与 FG 不共线几何法呢？ 例 3 四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是正方形， PD⊥ 底面 ABCD ， PD=DC, E 是 PC的中点， (1) 求证： PA// 平面 EDB.ABCDPEXYZG解 1 立体几何法ABCDPEXYZG解 2 ：如图所示建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点，设DC=1(1) 证明：连结 AC,AC 交 BD 于点 G, 连结 EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,, )2 2APE依题意得G 1 1( , ，0)2 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG�EGPAEGPA//2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，//ABCDPEXYZ解 3 ：如图所示建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点，设DC=1(1) 证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,, ),2 2APE依题意得B(1,1，0)(1,0, 1),PA �PAEDB而平面EDBPA平面所以，//1 1(0,, )2 2DE ��DB =(1,1，0)设平面 EDB 的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB��则1101, 1, 1220ynxy 于是0PA nPAn �ABCDPEXYZ解 4 ：如图所示建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点，设DC=1(1) 证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,, ),2 2APE依题意得B(1,1，0)(1,0, 1),PA �PAEDB而平面EDBPA平面所以，//1 1(0,, )2 2DE ��DB =(1,1，0)PAxDEyDB�设解得 x ＝－２ , ｙ＝１2PADEDB�即PADEDB�于是、 、 共面