石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（文）2013.01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，,,则（）A．B．C．D．2.若复数,,则（）A．B．C．D．3．为平行四边形的一条对角线，（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（）A．B．C．D．5．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则⊥D．若，则6．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A．1B．2C．3D．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为（）．A．B．C．D．2013石景山高三上数学文科第1页共7页正（主）视图侧（左）视图俯视图223231开始输出y输入x否是结束>2x2=-1yx2=logyx二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.不等式的解集为.10．直线被圆截得的弦长为．11．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；若点，则的最大值为.12．在等比数列中，，则公比；．13．在中，若，则．14.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心，其中；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．2013石景山高三上数学文科第2页共7页ABCDE图1图2A1BCDE17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．18．（本小题共13分）已知函数是常数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；（Ⅲ）若函数有零点，求实数的取值范围．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三2013石景山高三上数学文科第3页共7页角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案2013.01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BADDCCBC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为，所以.所以函数的定义域为…2分……5分……………7分（Ⅱ）因为，所以……………9分当时，即时，的最大值为；……………11分当时，即时，的最小值为.………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：……………4分（Ⅱ）证明：在△中，.又.由.……9分（Ⅲ）设则由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．，……12分当时,的最小值是．2013石景山高三上数学文科第4页共7页题号91011121314答案2；63①③即当为中点时,的长度最小,最...
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