等边三角形（ 3 ）复习等边三角形的判定与性质有哪些？探索1 ．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60° ；三边上的中线、高、角平分线相等2 ．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推论 1 是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法 . 推论 2 说明在等腰三角形中，只要有一个角是 600 ，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论 3 反映的是直角三角形中边与角之间的关系 .3 ．补充：已知如图所示 , 在△ ABC 中 , BD 是AC 边上的中线 , DB⊥BC 于 B, ∠ABC=120o, 求证 : AB=2BC分析 由已知条件可得∠ ABD=30o, 如能构造有一个锐角是 30o 的直角三角形 , 斜边是 AB,30o 角所对的边是与 BC 相等的线段 , 问题就得到解决了 .BCDA 证明 : 过 A 作 AE∥BC 交 BD 的延长线于 E DB⊥BC( 已知 )∴∠AED=90o ( 两直线平行内错角相等 )在△ ADE 和△ CDB 中∴△ADE≌△CDB(AAS) ∴AE=CB( 全等三角形的对应边相等 ) ∠ABC=120o,DB⊥BC( 已知 ) ∴∠ABD=30o)()()(已知对顶角相等已证CDADBDCADECBDE在 Rt△ABE 中 ,∠ABD=30o∴AE=AB( 在直角三角形中 , 如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 )∴BC=AB 即 AB=2BC点评 本题还可过 C 作 CE∥AB巩固练习如图所示 , 在等边△ ABC 的边的延长线上取一点 E, 以 CE为边作等边△ CDE, 使它与△ ABC 位于直线 AE 的同一侧 ,点 M 为线段 AD 的中点 , 点 N 为线段 BE 的中点 , 求证 :△CNM 是等边三角形 .分析 由已知易证明△ ADC≌△BEC, 得BE=AD,∠EBC=∠DAE, 而 M 、 N 分别为 BE 、 AD 的中点，于是有 BN=AM ，要证明△ CNM 是等边三角形，只须证 MC=CN ，∠ MCN=60o ，所以要证△ NBC≌△MAC ，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△ NBC≌△MACNMDCBAE证明： 等边△ ABC 和等边△ DCE ，∴BC=AC ， CD=CE ，（等边三角形的边相等）∠BCA=∠DCE=60o （等边三角形的每个角都是 60 ）∴∠BCE=∠DCA ∴△BCE≌△ACD （ SAS ）∴∠EBC=∠DAC （全等三角形的对应角相等）BE=AD （全等三角形的对应边相等）又 BN=BE ...
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