3 ． 4 基本不等式：3 ． 4.1 基本不等式 ( 一 ) ab≤2ab 1 ．设 a 、 b 是任意的两个正数，称a ＋ b2 为 a 、 b 的 ___________ ；称 为 a 、 b 的 ___________ ．2 ． 1 和 9 的算术平均数是 __ ，而 1 和 9 的几何平均数是 __.3 ．重要不等式：设 a 、 b∈R ， a2 ＋ b2 － 2ab ＝ (a － b)2≥0 ，∴a2 ＋ b2_______. 当且仅当 _____ 时，等号成立．4 ．基本不等式：设 a 、 b 是任意的两个正数，那么当且仅当 _____ 时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的 __________________________________ ．算术平均数ab 几何平均数53≥2ab a ＝ b ab≤a＋b2 a ＝ b算术平均数不小于它们的几何平均数如果把a ＋ b2看作是正数 a 、 b 的等差中项， 看作是正数a 、 b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的______________________________ ．)Ab 中最大的是 (A ． bB ． a2 ＋ b2C ． 2abD.12ab 等差中项不小于它们的等比中项5．设 b＞a＞0，且 a＋b＝1，则此四个数12，2ab，a2＋b2， a ＋ b重点 对公式 a2 ＋ b2≥2ab 及 ≤2 的理解(1) 两个公式成立的条件是不同的：前者只要求 a 、 b 是实数，而后者强调 a 、 b 必须是正数．ab (2)“当且仅当”的含义：以 ab≤a＋b2 为例，①当 a＝b 时，a＋b2 ≥ ab取等号，即 a＝b⇒ a＋b2 ＝ ab；②仅当 a＝b 时，a＋b2≥ ab取等号，即a＋b2 ＝ ab⇒ a＝b. 数列解释如果把 看作是正数 a 、 b 的等差中项， 看作是正数 a 、b 的等比中项，则该定理可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项几何解释如图 1 ，以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB上取点 C ，使 AC ＝ a ， CB ＝ b. 过点 C 作垂直于直径AB 的弦 DD′ ，则 CD ＝ . 因为圆的半径为 ，所以 ≥ . 其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 a ＝ b 时，等号成立，则该定理又可叙述为：半径不小于半弦难点基本不等式的两种解释a＋b2 ab ab a＋b2 a＋b2 ab 图 1基本不等式正用 a ＋ b≥2 ab 例 1：(1)函数 f(x)＝x＋1x(x>0)值域为________；函数 f(x)＝ x＋1x(x∈R)值域为________； (2)函数 f(x)＝x2＋1x2＋1的值域为________； (3)若 a>b>0，(a＋b＋c)1a＋ 1b＋c 的最小值为_____． ...
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