第二讲 证明不等式的基本方法2 ． 3 反证法与放缩法 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接反证法证明不等式 已知 a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14. 分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有一种情况，因此用反证法． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证明：证法一 假设三式同时大于14， 即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14. 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞ 164. 又(1－a)a≤1－a＋a22＝14， 同理，(1－b)b≤14，(1－c)c≤14， ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ 164，与假设矛盾． ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证法二 假设三式同时大于14. 0＜a＜1，∴1－a＞0， （1－a）＋b2≥ （1－a）·b＞14＝12. 同理（1－b）＋c2，（1－c）＋a2都大于12. 三式相加，得32＞32，此式矛盾， ∴原命题成立． 点评：当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接►变式训练 1．已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证明：证法一 假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1.① 因为 0＜x＜2， 所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1， 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1，② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证法二 假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x)＞1 均成立， 则 x（2－y）＋ y（2－z）＋ z（2－x）＞3，③ 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接而x（2－y） ＋y（2－z） ＋z（2－x） ≤x＋（2－y）2＋y＋（2－z）2＋z＋（2－x）2＝3，④ ④与③矛盾，故假设不成立， 所以原结论成立． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数． 分析：适合运用反证法来证明． 证明：假设 a，b，c，d 都是非负数， 即 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则 1＝(a＋b)...
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