- 321 - / 7 第 34 炼 向量的模长问题——几何法一、基础知识：1、向量和差的几何意义：已知向量,a br r，则有：（1）若,a br r共起点，则利用平行四边形法则求abrr，可得 abrr是以,a br r为邻边的平行四边形的对角线（2）若,a br r首尾相接，则利用三角形法则求出abrr，可得 abrr，,a br r围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：对于ar（1）共线（平行） 特点：ar与 ar为共线向量， 其中0时，ar与 ar同向；0 时，ar与 ar反向（2）模长关系：aarr3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABCV三个内角,,A B C 所对的边为, ,a b c① 正弦定理：sinsinsinabcABC② 余弦定理：2222cosabcbcA（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60o 的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题：例 1：（2015 届北京市重点中学高三8 月开学测试数学试卷）已知向量,a br r的夹角为 45o ，且1, 210aabrrr，则 br（）A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3 2思 路 ： 本 题 利 用 几 何 图 形 可 解 ， 运 用 向 量 加 减 运 算 作 出 如 下 图 形 ： 可 知- 322 - / 7 2,,104ABBAC，只需利用余弦定理求出BC即可。解：如图可得：bBCr，在ABCV中，有：2222cosACABBCAB BCB即：21042 2cos4BCBC22 260BCBC解 得3 2BC或2BC（舍）所以3 2br，答案：选 D例 2：若平面向量, ,a b cr r r两两所成的角相等， 且1,3abcrrr，则 abcrrr等于（）A. 2 B. 5 C. 2 或 5 D. 2 或5思路：首先由, ,a b cr r r两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是, ,a b cr r r同向（如图1，此时夹角均为0），则 abcrrr为 5 ，另一种情况为两两夹角23（如图 2），以1abrr为突破口，由平行四边形法则作图得到abrr与,a br r夹角相等，1abarrr（底角为 60o的菱形性质） ，且与 cr反向，进而由图得到2abcrrr，选 C 答案： C 例 3：已知向量,a br r，且1,2abrr，则 2barr的取值范围是（）A. 1,3 B. 2,4 C. 3,5 D. 4,6思路：先作出 ar，即有向线段AB ，考...
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