第 14 章 勾股定理微专题 6 勾股定理及其逆定理的综合应用专题解读 勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形的三边的数量关系，在实际生活中应用广泛，在解题时注意将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理解决． 专题训练 类型1 勾股定理与格点多边形 1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段AD∥ BC且使AD＝BC，连结CD； 解：如图． (2)线段 AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD的长为 ； (3)△ ACD 为 三角形，四边形 ABCD 的面积为 ． 20 5 5 直角 10 类型 2 勾股定理与图形变换 2. 如图，长方形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6，P 为AD 上一点，将△ ABP 沿 BP 翻折至△ EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE＝OD，求 AP 的长． 解：在△ DOP 和△ EOM 中，∠D＝∠E＝90°，∠DOP＝∠EOM，DO＝OE， △DOP△EOM， ∴PO＝OM，DP＝EM， 设 AP＝x，由折叠知，PE＝AP＝x，即 PE＝PO＋OE＝OM＋OD＝DM＝x， ∴CM＝8－x，在 Rt△ BCM 中，BM＝BE－EM＝AB－DP＝8－(6－x)＝2＋x， 又 MC2＋BC2＝BM2，即(8－x)2＋62＝(x＋2)2，解得x＝245 ，即 AP＝245 . 3. 如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ ABC 内的一点，且 PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数． 解：如图，作∠BCD＝∠ACP，CD＝CP，连结 BD、PD，则△ ACP≌△BCD，∴AP＝BD＝3. 易得△ PCD 是等腰直角三角形，∴∠CPD＝45°，PD＝ 8. 在△ PBD中，PD＝ 8，PB＝1，BD＝3，∴PD2＋PB2＝BD2. ∴△PBD 为直角三角形，且∠DPB＝90°. ∴∠BPC＝∠CPD＋∠DPB＝135°. 类型 3 利用勾股定理的逆定理证垂直 4. 如图，在△ ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线 AD＝6，求证：BA⊥AD. 证明：延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连结 BE. 点 D 是 BC 的中点， ∴BD＝CD. 在△ ADC 和△ EDB 中，CD＝BD，∠ADC＝∠EDB，AD＝ED， ∴△ADC≌△EDB， ∴EB＝AC＝13，AE＝2AD＝12. 又 AB＝5， ∴AB2＋AE2＝52＋122＝169＝132＝BE2， ∴△ABE 是直角三角形，∠BAE＝90°， ∴BA⊥AD. 类型 4 巧用勾股定理求最短距离 5. 如图，点 A 是正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一只蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 ． 10 6. 如图，A、B 两个小镇在河流 CD 的同侧，...
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