2 ． 3.2 等比数列的前 n 项和 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 情 景 导 入九章算术有一道“耗子穿墙”的问题：今有垣厚 5 尺，两鼠相对，大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？各穿几何？在实际上是一个等比数列求和的问题，他的解法也很简单，答案是两天不足，三天有余．这节内容，我们就来探讨等比数列前 n 项和的求法，推导出公式后运用它去计算诸如此类的问题． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接课 标 点 击 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接1 ．掌握等比数列的前 n 项和公式及推导过程，掌握错位相减求和法．2 ．能利用前 n 项和公式解决简单问题，同时了解某些特殊数列的求和方法． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接要 点 导 航知识点 1 前 n 项和公式的导出 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证法一 设等比数列 a1，a2，a3，…，an，…，它的前 n 项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an. 由等比数列的通项公式可将 Sn写成 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.① ①式两边同乘以 q 得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn.② ①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得 q≠1 时， Sn＝a1（1－qn）1－q， an＝a1qn－1，所以上式可以化为 Sn＝a1－anq1－q .当 q＝1 时，Sn＝na1. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证法二 由等比数列定义知a2a1＝a3a2＝…＝ anan－1＝q. 当 q≠1 时，a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，即Sn－a1Sn－an＝q. 故 Sn＝a1－anq1－q ＝a1（1－qn）1－q.当 q＝1 时，Sn＝na1. 证法三 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1 ＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)＝a1＋qSn－1＝a1＋q(Sn－an)． 当 q≠1 时，Sn＝a1－anq1－q ＝a1（1－qn）1－q. 当 q＝1 时，Sn＝na1. 知识点 2 注意问题 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 (1)上述证法中，证法一为错位相减法，证法二为合比定理法，证法三为拆项法．各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会． (2)公比为 1 与公比不为 1 时公式不同，若公比为字母，要注意 分类讨论． (3)当已知 a1，q，n 时，用公式 Sn＝a1（1－qn）1－q，当已知 a1，q，an时，用公式 Sn＝a1－anq1－q . 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接(4)在解决等比数列问题时，如已知 a1，an，n，q，Sn 的任意三个，可由通项公式或前 n 项和公式求解其余...
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