X(t+At)-X(t)=rX(t)A于是 X（t）满足微分方一、人口增长模型1.问题下表列出了中国 1982—1998 年的人口统计数据，取 1982 年为起始年（t=0）,…人口自然增长率 14%，以 36 亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口相比较：时间（年）198219831984198519861987万口>人人101654103008104357105851107507109300时间198819891990199119921993人口111026112704114333115823117171118517时间19941995199619971998人口119850121121122389123626124810从图中我们可以看到人口数在 1982—1998 年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）1•假设：人口增长率 r 是常数.2•建立模型：记时刻 t=0 时人口数为 X°,时刻 t 的人口为 X（t），由于量大，X（t）可以视为连续、可微函数，t 到 t+At 时间段人口的增量为：〜dxX、—=rX
(1)X(0)=X03•模型求解：解得微分方程（1）得:X(t)=Xoer(F(2)表明：tg 时，Xg（r.>0）•t4.模型的参数估计要用模型 2 对人口进行预报，必须对其中的参数 r 进行估计，这可以用表 1 通过 Matlab 拟合：程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619970.00000.045501.98001998]';X=[ones(17,1),x]Y=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);%回归分析b,bint,stats%输出这些值rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,T'),%预测及作图运彳丁结果：b=1.0e+006*-2.84470.0015bint=1.0e+006*-2.9381-2.75130.00140.0015stats=1.0e+005*图 1 各数据点及回归方程的图形即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。从拟和的结果我们得到在上图的拟和效果下：r 二 0.014,X 二 101654，进而把它们代入式(2)我们计算得出如下表：这里用程序计算 0程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998];y=101...
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