第 29 讲 平面向量的数量积及应用【学习目标】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题． 【基础检测】 1．若向量 a，b，c 满足 a∥b 且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 D 【解析】 a∥b，a⊥c，∴b⊥c. ∴a·c＝0，b·c＝0.c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 2．已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝( ) A. 13 B．2 3 C. 15 D．4 A 【解析】|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝13， 故|a－b|＝ 13. 3．若 e1，e2 是夹角为π3的单位向量，且 a＝2e1＋e2， b＝－3e1＋2e2，则 a·b 等于________． －72 【解析】a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e12＋e1·e2＋2e22＝－6＋cosπ3＋2 ＝－4＋12＝－72. 4．如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC→ ＝ 3 BD→ ，|AD→ |＝1，则AC→ ·AD→ ＝________． 3 【解析】法一：建系如图所示． 令 B(xB，0)，C(xC，yC)，D(0，1)， 所以BC→ ＝(xC－xB，yC)， BD→ ＝(－xB，1)，BC→ ＝ 3 BD→ ，所以xC－xB＝ 3－xB，yC＝ 3， 所以 xC＝(1－ 3)xB，yC＝ 3.AC→ ＝((1－ 3)xB，3)，AD→ ＝(0，1)，则AC→ ·AD→ ＝ 3. 法二：AC→ ·AD→ ＝(AB→ ＋BC→ )·AD→ ＝BC→ ·AD→ ＝ 3 AD→ ·BD→ ， 其中AD→ ·BD→ ＝|AD→ ||BD→ |cos ∠ADB ＝|AD→ ||BD→ |·|AD→ ||BD→ |＝AD→ 2＝1. 故 3 AD→ ·BD→ ＝ 3. 【知识要点】 1．两向量的夹角 已知非零向量 a，b，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB叫做 a 与 b 的夹角． a 与 b 的夹角的取值范围是___________． 当 a 与 b 同向时，它们的夹角为______________；当 a 与 b 反向时，它们的夹角为____________；当夹角为 90°时，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 2．向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把____________叫做 a与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任何向量的数量积为 0，即 0·a＝0. [0 ， π] 0 π |a||b|cos θ 3．向量数量...
