一、定义 设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值 , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应 , 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数 , 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数 , 记作 : x=(y)=f-1(y).x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.二、定义理解1. 函数存在反函数的条件 : 映射 f: A→C 为一一映射 . 2. 函数在其定义域区间上可能不存在反函数 , 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数 .3. 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 . 注意 : 反函数的定义域不能由其解析式来求 . 三、简单性质1. 互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称 ; 2. 单调函数一定存在反函数 , 但有反函数的函数不一定是单调函数 ;3. 奇函数不一定有反函数 , 偶函数在一般情况下无反函数 ; 4. 互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性 ;5. 若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a), 即 : 若 a∈A, b∈C, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b. 四、求函数的反函数的步骤2. 由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) ( 即用 y 表示 x);3. 交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 1. 求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围 , 得其反函数中 x 的取值范围 ;五、函数与其反函数图像的交点问题 如果一个函数与其反函数的图像有公共点 , 则公共点在直线 y=x 上 , 或者关于直线 y=x 对称地成对出现 .4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围 .例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =( ) . 161x 六、典型例题例 1 函数 y= (x∈R, 且 x ≠ ) 的反函数是 ( ) 2x-1 x-2 12(A) y= (x∈R, 且 x ≠ ) 2x-1 x-2 12(B) y= (x∈R, 且 x ≠ 2) 2x-1 x-2 (C) y= (x∈R, 且 x ≠ ) 2x-1 x+2 12(D) y= (x∈R, 且 x≠-2) 2x-1 x+2 -11xoy-11xoy1 xoy1-11xoy(D)(A)(B)(C) 例 2 设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1≤x≤0), 则函数 y=f-1(x)的图像可能是 ( )AB 例 3 求下列函数的反函数 :(2) y=x|x-2|+4x. (1) y =( )2( ≤x< ). x+1 3x-2 2332(2) y = x+1 -1 (x≥8), 3- 9-x (x<8). (1) y= (0≤x<1); 3- x2+ x 例 4 解答下列关...
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