不等式与函数【例 1 】已知 a，b，c 是实数，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1 时，|f(x)|≤1. (1)证明：|c|≤1； (2)设 a＞0，有－1≤x≤1 时，g(x)的最大值为2，求 f(x)． 【解析】(1)证明：由条件当－1≤x≤1 时，|f(x)|≤1， 取 x＝0 得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)因为 a>0，g(x)在[－1,1]上是增函数，当 x＝1 时取得最大值 2， 即 g(1)＝a＋b＝f(1)－f(0)＝2.① 因为－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1， 所以 c＝f(0)＝－1. 因为当－1≤x≤1 时，f(x)≥－1，即 f(x)≥f(0)， 根据二次函数的性质，直线 x＝0 为 f(x)的图象的对称轴， 由此得－ b2a＝0，即 b＝0. 由①得 a＝2，所以 f(x)＝2x2－1. 本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，解答的关键是对函数 f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－ 1≤x≤1时 |f(x)|≤1” 的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局．【变式练习 1】要使满足关于 x 的不等式 2x2－9x＋a<0(解集非空)的每一个 x 的值至少满足不等式 x2－4x＋3<0 和 x2－6x＋8<0 中的一个，求实数 a 的取值范围． 【解析】因为不等式x2－4x＋3<0的解集为A＝{x|10f1＝a－7≥0f4＝a－4≥0，解得 7≤a≤818 . 所以实数 a 的取值范围是[7，818 ]． 不等式与方程【例 2 】已知关于 x 的方程 x2 － ax － 2 ＝ 0 的两根为 x1 ， x2 ，试问是否存在实数 m ，使得不等式 m2 ＋ lm ＋ 1≥|x1 － x2| 对任意实数 a∈[ － 1,1] 及 l∈[ － 1,1] 恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，说明理由．121222121212212212222||48.[ 1,1]||8[2 2 3]1 ||[ 1,1][ 1,1]13[ 1,1]20[ 1,1]xxax xxxxxx xaaxxamlmxxalmlmlmlml 由题意有 ＋ ＝ ，＝－ ，所以－＝＝因为－，所以－＝，．要使不等式＋＋－对任意－及－恒成立，当且仅当＋＋对任意－恒成立，即＋－对任意【解析】－恒成立． 222212(2)12012022....
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