用定义或判定定理证明线面垂直 【例 1 】如图，在四棱锥 P—ABCD中，PA⊥底面ABCD ， AB⊥AD ， AC⊥CD ，∠ ABC ＝ 60° ， PA ＝AB ＝ BC ， E 是 PC 的中点．证明：(1)CD⊥AE ；(2)PD⊥ 平面 ABE ； 【证明】 (1) 在四棱锥 P—ABCD 中，因为PA⊥ 底面 ABCD ， CD平面 ABCD ，故PA⊥CD.又因为 AC⊥CD ， PA∩AC ＝ A ，所以 CD⊥平面 PAC.而 AE平面 PAC ，所以 CD⊥AE.(2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝ 60° ，得△ ABC 是等边三角形，故 AC ＝ PA.因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC.由 (1) 知， AE⊥CD ，且 PC∩CD ＝ C ，所以 AE⊥ 平面 PCD.而 PD平面 PCD ，所以 AE⊥PD.又因为 PA⊥ 底面 ABCD ，所以 PA⊥AB.由已知得 AB⊥AD ，且 PA∩AD ＝ A ，所以AB⊥ 平面 PAD.又 PD平面 PAD ，所以 AB⊥PD.因为 AB∩AE ＝ A ，所以 PD⊥ 平面 ABE. 本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等． 【变式练习 1 】如图， E ， F 分别为直角三角形 ABC 的直角 边 AC 和 斜 边 AB 的 中 点 ， 沿 EF 将△ AEF 折起到△ A1EF 的位置，连结 A1B ，A1C. 求证：(1)EF⊥ 平面 A1EC ；(2)AA1⊥ 平面 A1BC. 1111111111111111/ /12.EFACABEFBCACBCEFECEFA EA ECEEA EA ECCEA ECEFA ECACMEMEACEMAAA ECEEMACAAACEFA ECA AA ECAAEFEFBC因为 ， 分别为和的中点，所以，因为，所以，，又＝ ，平面，平面，所以平面取的中点，连结，又因为 为的中点，所以，＝，所以，所以，又因为平面，平面，所以【证明，又】，所以1111.AABCACBCCAAA BC，又＝ ，所以平面用线面垂直的性质定理证明线线垂直 111111920136.ABCA B CACBCBCAC CMCCA BAM已知在直三棱柱－中，＝，＝ ，＝，，＝，是的中点，求证：【例 】【证明】如图，∠ ACB ＝ 90° ，所以 BC...
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