§2.3 函数的奇偶性 基础知识 自主学习 要点梳理 1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果对于任意 的 x∈A，都有 ，那么称函数 y＝f(x)是偶 函数． 如果对于任意的 x∈A 都有 ，那么称函 数 y＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴 对称． f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 ． (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是偶 函数； ②两个偶函数的和、积都是 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 ． 相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数 3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零 常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x ＋T)＝ ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． f(x) 存在一个最小 [难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立． 2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)． 基础自测 1．下列函数中，所有奇函数的序号是________...
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