§2.3 函数的奇偶性 基础知识 自主学习 要点梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果对于任意 的 x∈A,都有 ,那么称函数 y=f(x)是偶 函数. 如果对于任意的 x∈A 都有 ,那么称函 数 y=f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴 对称. f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 . (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 ,两个奇函数的积是偶 函数; ②两个偶函数的和、积都是 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是 . 相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零 常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x +T)= ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. f(x) 存在一个最小 [难点正本 疑点清源] 1.函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x)),那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数).其中包含两个必备条件: ①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件,所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题; ②判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数)) 是否成立. 2.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单 调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)=0,定义域是关 于原点对称的任意一个数集). 基础自测 1.下列函数中,所有奇函数的序号是________...