数 列 失分点 15 忽视 n 的范围致误 例 1 已知数列{an}的首项为 a1＝3，通项 an 与前 n 项 和 Sn 之间满足 2an＝Sn·Sn－1(n≥2)． (1)求证：{1Sn}是等差数列，并求其公差； (2)求数列{an}的通项公式． 错解 (1) an＝Sn－Sn－1， ∴2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1， ∴ 1Sn－ 1Sn－1＝－12， ∴数列{1Sn}是等差数列，并且 d＝－12. (2)由(1)知{1Sn}是等差数列，且公差 d＝－12， 1S1＝ 1a1＝13， ∴ 1Sn＝13＋(n－1)×(－12)＝5－3n6， ∴Sn＝65－3n， ∴an＝Sn－Sn－1＝18(3n－5)(3n－8). 找准失分点 在(1)问中，an＝Sn－Sn－1 应写上条件 n≥2. 漏掉 n≥2 即为不规范． 在第(2)问中，错误在于没有讨论 n＝1 的情况． 失分原因与防范措施 an＝Sn－Sn－1只有在 n≥2时才能成立．解题时往往忽视 n≥2 的条件致误．解关于由 Sn求 an 的题目时，按两步讨论，可避免出错．①当 n＝1时，a1＝S1；②当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.检验 a1 是否适合由②求的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用 分段函数表达：an＝ S1 (n＝1)Sn－Sn－1 (n≥2) . 正解 (1)当 n≥2 时，2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，两端同除以Sn·Sn－1，得1Sn－ 1Sn－1＝－12，根据等差数列的定义，知{1Sn}是等差数列，且公差为－12. (2)由第(1)问的结果可得1Sn＝13＋(n－1)(－12)， 即 Sn＝65－3n. 当 n＝1 时，a1＝3； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝18(3n－5)(3n－8). 所以 an＝ 3 (n＝1)，18(3n－5)(3n－8) (n≥2). 变式训练 1 已知等比数列{an}中，a2、a3、a4 分别是某 等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 a1＝12，公比 q≠1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－ 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知得 a2－a3＝2(a3－a4)， 从而得 2q2－3q＋1＝0， 解得 q＝12或 q＝1(舍去)， 所以 an＝(12)n. (2)当 n＝1 时，a1b1＝1，∴b1＝2； 当 n≥2 时，a1b1＋a2b2＋……＋an－1bn－1＋anbn＝2n－1， a1b2＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2n－3， 两式相减得 anbn＝2，∴bn＝2n＋1. 因此 bn＝ 2， n＝1，2n＋1， n≥2. 当 n＝1 时，Sn＝S1＝b1＝2； 当 n≥2 时，Sn＝b1＋b2＋……＋bn＝2＋8(1－2n－1)1－2 ＝2n＋2－6. 综上，Sn＝2n＋2－6. 失分点 16 忽视对等比数列...
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