离散型随机变量的期望值与方差离散型随机变量的期望值与方差 一、基本知识概要：一、基本知识概要： 11 、期望的定义：、期望的定义： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 ξξ 的分布列为 的分布列为 …… PPnn …… PP33 PP22 PP11 P P …… xxnn …… xx33 xx22 xx11 ξξ 则称则称 Eξ=XEξ=X11PP11+X+X22PP22+X+X33PP33+…+X+…+XnnPPnn+…+… 为为 ξξ 的的数学期望或平均数、均值，简称期望。数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了它反映了 :: 离散型随机变量取值的平均水平。离散型随机变量取值的平均水平。 若若 η=aξ+b(aη=aξ+b(a 、、 bb 为常数为常数 )) ，则，则ηη 也是随机变量，且也是随机变量，且Eη=aEξ+bEη=aEξ+b 。 。 E(c)= c E(c)= c 特别地，若特别地，若 ξξ ～～ B(nB(n ，， P)P) ，，则则Eξ=nP Eξ=nP 22 、方差、标准差定义： 、方差、标准差定义： Dξ=(XDξ=(X11-Eξ)-Eξ)22··PP11+(X+(X22-Eξ)-Eξ)22··PP22+…+(X+…+(Xnn--Eξ)Eξ)22··PPnn+…+… 称为随机变量称为随机变量 ξξ 的方差。 的方差。 DξDξ 的算术平方根 的算术平方根 ==δξδξ 叫做随机叫做随机变量的标准差。 变量的标准差。 D 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量的方差与标准差都反映了 :: 随机随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 度。 且有且有 D(aξ+b)=a2Dξ,D(aξ+b)=a2Dξ, 可以证明可以证明 Dξ=Eξ2- Dξ=Eξ2- (Eξ)2(Eξ)2 。 。 若若 ξξ ～～ B(nB(n ，， p)p) ，，则则 Dξ=npqDξ=npq ，，其中其中q=1-p. q=1-p. 33 、特别注意、特别注意：在计算离散型随机变量的期：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 提高运算速度和准确度。 二、例题： 二、例题： 例例 11 、（、（ 11 ）下面说法中正确的是 ）下面说法中正确的是 ( ( ))AA ．．离散型随机变量离散型随机变量 ξξ 的期望的期望 EξEξ 反映了反映了 ξξ取值的概率的平均值。 取值的概率的平均值。 BB ．．...
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