第 四 节函数的奇偶性与周期性 重点难点 重点：1.奇偶函数的定义及其图象的对称特征． 2．函数的周期性． 难点：函数性质的综合应用． 知识归纳 一、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 D，若对 D 内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝ (或 f(－x)＝ )成立，则称 f(x)为奇函数(或偶函数)． －f(x) f(x) 2．关于奇偶性的结论与注意事项 (1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数． (3)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，那么 f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若 f(x)为偶函数，则恒有 f(x)＝f(|x|)． (4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称． (5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为 0 的函数)． 二、函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得对定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝ ，那么函数 f(x)叫做周期函数．T 叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期． f(x) (2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果 T 是 f(x)的周期，则 kT(k∈N*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期． 误区警示 判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数 y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称． 一、方程的思想 运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的． [例] 设 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，若 f(x)－g(x)＝12x，比较 f(1)、g(0)、g(－2)的大小________． 分析：奇偶性讨论的就是 f(－x)与 f(x)的关系，如果题目中涉及 x 与－x 的函数值之间的关系，一般考虑用奇偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从 f(－x)＝±f(x)入手． 解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)＝－f...
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